Определение активной длительности сигнала и активной ширины его спектра. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра Вопросы и задания для самопроверки

Литература: [Л.1], с 50-51

[Л.2], с 65-66

[Л.3], с 24-25

Для решения практических задач радиотехники крайне важно знать значения длительности и ширины спектра сигнала, а также соотношение между ними. Знание длительности сигнала позволяет решать задачи эффективного использования времени, предоставляемого для передачи сообщений, а знание ширины спектра – эффективного использования диапазона радиочастот.

Решение указанных задач требует строгого определения понятий «эффективная длительность» и «эффективная ширина спектра». На практике существует большое число подходов к определению длительности. В том случае, когда сигнал ограничен во времени (финишный сигнал), как это имеет место, например, для прямоугольного импульса, определение длительности не встречает затруднений. Иначе обстоит дело, когда теоретически сигнал имеет бесконечную длительность, например, экспоненциальный импульс

В этом случае в качестве эффективной длительности может быть принят интервал времени , в течение которого значение сигнала . При другом способе в качестве выбирают интервал времени, в течение которого . То же самое можно сказать и в отношении определения эффективной ширины спектра .

Хотя в дальнейшем, некоторые из этих способов будут использоваться при анализе радиотехнических сигналов и цепей, следует отметить, что выбор способа существенно зависит от формы сигнала и структуры спектра. Так для экспоненциального импульса более предпочтителен первый из указанных способов, а для сигнала колоколообразной формы – второй способ.

Более универсальным является подход, использующий энергетические критерии. При таком подходе в качестве эффективной длительности и эффективной ширины спектра рассматриваются соответственно интервал времени и диапазон частот, в пределах которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала

, (2.52)

, (2.53)

где – коэффициент, показывающий, какая часть энергии сосредоточена в интервалах или . Обычно величину выбирают в пределах .

Применим критерии (2.52) и (2.53) для определения длительности и ширины спектра прямоугольного и экспоненциального импульсов. Для прямоугольного импульса вся энергия сосредоточена в интервале времени или , поэтому его длительность . Что касается эффективной ширины спектра, то установлено, что более 90% энергии импульса сосредоточено в пределах первого лепестка спектра. Если рассматривать односторонний (физический) спектр импульса, то ширина первого лепестка спектра составляет в круговых частотах или в циклических частотах. Отсюда следует, что эффективная ширина спектра прямоугольного импульса равна

Перейдем к определению и экспоненциального импульса. Полная энергия импульса составляет

.

Воспользовавшись (2.52), получим

.

Вычислив интеграл в левой части уравнения и решив его, можно прийти к следующему результату

.

Спектр экспоненциального импульса найдем, воспользовавшись преобразованием Фурье

,

откуда следует

.

Подставляя это выражение в (2.53) и решая уравнение, получим

.

Найдем произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра. Для прямоугольного импульса это произведение составляет

,

или для циклических частот

.

Для экспоненциального импульса

Таким образом, произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра одиночного сигнала есть постоянная величина, зависящая только от формы сигнала и величины коэффициента . Это означает, что при уменьшении длительности сигнала его спектр расширяется и наоборот. Этот факт уже отмечался пи рассмотрении свойства (2.46) преобразования Фурье. На практике это означает, что невозможно сформировать короткий сигнал, обладающий узким спектром, что является проявлением физического принципа неопределенности .

Теоретически, как указывалось выше, для большинства периодических функций спектр неограничен, т.е. для передачи сигналов телемеханики без изменения формы необходимы бесконечно большая полоса пропускания канала связи и отсутствие амплитудных и фазовых искажений. Практически все каналы связи имеют ограниченную полосу пропускания, и форма сигналов при передаче по каналу изменяется даже при отсутствии в этой полосе амплитудных и фазовых искажений. Очевидно, важно передать ту часть спектра сигнала, которая содержит гармонические составляющие с относительно большими амплитудами. В связи с этим вводится понятие практической ширины спектра сигнала. Под практической шириной спектра сигнала понимается та область частот, в пределах которой лежат гармонические составляющие сигнала с амплитудами, превышающими наперед заданную величину.

Поскольку средняя мощность, выделяемая сигналом на активном сопротивлении, равном 1 Ом, складывается из мощностей, выделяемых на этом сопротивлении гармоническими составляющими,

практическая ширина спектра с энергетической точки зрения может быть определена как область частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть мощности сигнала.

В качестве примера определим практическую ширину спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1.8,а), если требуется учесть все гармонические составляющие сигнала, амплитуды которых более 0,2 от амплитуды первой гармоники. Число подлежащих учету гармоник k может быть получено из выражения

,

откуда k = 5.

Таким образом, практическая ширина спектра в рассмотренном примере оказывается равной 5W 1 , в ней размещаются всего три гармоники (первая, третья и пятая) и постоянная составляющая.

Средняя мощность P k 5 , выделяемая в активном сопротивлении, равном 1 Ом, перечисленными составляющими, равна

Средняя мощность, выделяемая в этом же сопротивлении всеми составляющими сигнала, будет

Таким образом, %, т.е. составляющие, входящие в практический спектр, выделяют в активном сопротивлении 96 % всей мощности сигнала.

Очевидно, расширение практического спектра данного сигнала (свыше 5W 1) с энергетической точки зрения нецелесообразно.

Ограничение спектра сигнала оказывает также влияние на его форму. Для иллюстрации на рис. 1.8 показано изменение формы прямоугольных импульсов при сохранении в спектре только постоянной составляющей и первой гармоники (рис. 1.8, б ), при ограничении спектра частотой 3W 1 (рис. 1.8, в ) и при ограничении спектра частотой 5W 1 (рис. 1.8, г ). Как следует из рисунка, чем круче должен быть фронт импульса, тем большее число высших гармонических составляющих должно входить в состав сигнала.

A 0 +A 1 (t )

A 0 +A 1 (t )+A 3 (t ) A 0 +A 1 (t )+A 3 (t)+A 5 (t )

		в		г

Рис. 1.8. Формы сигнала при ограничении спектра последовательности

прямоугольных импульсов

Рассмотренная зависимость формы периодического сигнала от количества суммируемых гармоник показывает, что при выборе практической ширины спектра сигнала нельзя ограничиваться только энергетическими соображениями. Необходимо учитывать требования к сигналу на выходе системы, как с энергетической точки зрения, так и с точки зрения сохранения его формы. В общем случае практическая ширина спектра сигнала выбирается из условия

, (1.21)

где m = 0,5… 2 – коэффициент формы импульса; при m = 1 обеспечивается передача около 90 % всей энергии сигнала.

В кодоимпульсных системах телеизмерения, а также во многих системах телеуправления каждая кодовая комбинация состоит из определенной последовательности прямоугольных импульсов и пауз. Кодовая комбинация, соответствующая данной величине измеряемого параметра или команде, может периодически передаваться по каналу связи. Спектр такого сигнала зависит, конечно, от того какая именно кодовая комбинация передается. Но самым главным фактором, определяющим удельный вес высших гармоник спектра, остается наибольшая частота следования импульсов. Поэтому и для кодоимпульсных систем при определении практически необходимой ширины полосы частот выбирают сигнал в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1.5). Параметр t выбирают равным длительности самого короткого импульса среди всех встречающихся в кодовых комбинациях, период следования T = 2t. В этом случае наибольшая частота следования импульсов W max = 2p / T и частота основной гармоники спектра W 1 = W max . Необходимая ширина полосы частот сигнала определяется дискретным спектром с ограниченным числом составляющих и в соответствии с выражением (1.21).

Характер спектра, определяющий требуемую полосу частот, зависит не только от вида сигнала, но и от условий, существующих в тракте передачи. Если переходные процессы, возникающие в системе при передаче одного импульса, заканчиваются до момента возникновения следующего импульса, то вместо периодической последовательности импульсов можно рассматривать передачу независимых одиночных импульсов.

Нам уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр.

Это фундаментальное положение теории сигналов можно установить в общем виде на основе преобразования Фурье

Рассмотрим поведение каждого из интегралов при увеличении Ω.

В соответствии и леммой Римана, утверждающей, что если функция s(t) абсолютно интегрируема на промежутке то

Геометрический смысл этого утверждения поясняется рисунком, в верхней части которого изображены некоторый произвольный сигнал s(t) и гармоническое колебание с частотой Ω, а в нижней части – их произведение.

При достаточно высокой частоте Ω каждая положительная полуволна почти полностью компенсируется ближайшей к ней отрицательной полуволной и суммарная площадь под кривой s(t)cos(Ωt) или s(t)sin (Ωt) близка к нулю. Под достаточно высокой частотой следует понимать частоту Ω=2π/Т, при которой период Т достаточно мал по сравнению с длительностью сигнала s(t).

Очевидно, что чем короче сигнал, тем меньше и период Т, соответствующий этому условию.

Иными словами, чем короче сигнал, тем выше граничная частота спектра сигнала. Так как нижняя граница спектра примыкает к нулевой частоте, то общий спектр получается тем шире, чем меньше длительность сигнала. При этом оказывается, что произведение длительности на «техническую» ширину его спектра является величиной, близкой к единице.

Ранее, мы на качественном уровне давали определение эквивалентной длительности, более строго она может быть определена как

Причем начало отсчета времени совмещается с серединой импульса, так что выполняется условие

Аналогично, эквивалентная ширина спектра ΔΩ=2πΔF определяется выражением

При дополнительном условии

Уточняющем начало отсчета частоты на оси Ω.

Если сигнал нормирован таким образом, что его энергия Е равна единице, т.е.

То выражение для τ и ΔΩ, зависящая от формы сигнала, в любом случае не может быть меньше ½.

Таким образом, для любого сигнала выполняется условие τ и ΔF≥1/4π.

В частности, для гауссова импульса, основываясь на ранее полученных результатах, находим

Используя условие нормировки

получаем

Из этого примера видно, что из всех сигналов гауссов импульс обладает наименьшей возможной величиной произведения τ и ΔF.

Сжатие импульса во времени с целью, например, повышения точности измерения момента его появления, неизбежно сопровождается расширением спектра импульса, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. Аналогично, сжатие спектра импульса, например с целью повышения точности измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует увеличения промежутка времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе часто и в коротком промежутке времени представляет собой одно из проявлений извествного в физике принципа неопределенности.

В работе было отмечено, что с увеличением числа нулей происходит смещение спектра комплексной огибающей ФМ сигнала в область более высоких частот. Имеется в виду смещение той части спектра, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала, поскольку принципиально спектр ФМ сигнала тождественно не равен нулю (за исключением множества точек с мерой нуль) на всей оси частот, Для определения

смещения спектра можно использовать понятие эффективной ширины спектра например, ), которая определяется соотношением

В случае ФМ сигналов интеграл в числителе расходится и определение (11.8) не имеет смысла. Но учитывая, что основная часть энергии ФМ сигнала сосредоточена между первыми нулями то бесконечные пределы интеграла в числителе можно заменить Переходя к переменной и учитывая, четная функция, а интеграл в знаменателе (11.8) равен определим эффективную ширину спектра комплексной огибающей ФМ сигнала с блоками следующим образом:

Подставляя (11.6) в (11.9), получаем

т. е. при таком определении пропорциональна интегралу от периодической функции (11.7) за период После интегрирования находим

Следовательно, чем больше блоков имеет ФМ сигнал, тем больше . В табл. 11.1 приведены значения для нескольких ФМ сигналов, существенно отличающихся друг от друга по своей структуре.

В первой строке табл. 11.1 приведены данные для прямоугольного импульса длительностью имеющего всего один блок Чем больше тем меньше Этот пример соответствует ФМ сигналу, имеющему наименьшее число блоков. Во

Таблица 11.1 (см. скан)

второй строке табл. 11.1 приведены данные для ФМ сигнала, имеющего наибольшее число блоков Этот ФМ сигнал (меандр) представляет последовательность знакопеременных импульсов. Для меандра что является максимальным значением . В третьей строке приведены данные для оптимального ФМ сигнала, у которого Для такого сигнала в два раза меньше максимального. Таким образом, эффективная ширина спектра оптимальных ФМ сигналов лежит примерно на середине между значениями, соответствующими двум крайним значениям для прямоугольного импульса и меандра. В последней строке приведено значения эффективной ширины спектра идеального (гипотетического) сигнала, состоящего из импульсов, энергетический спектр которого совпадает с энергетическим спектром одиночного импульса длительностью