Andrei Lipov
Lihtsamalt öeldes näitab standardhälve, kui palju instrumendi hind ajas kõigub. See tähendab, et mida kõrgem on see näitaja, seda suurem on mitme väärtuse volatiilsus või varieeruvus.
Väärtuste kogumite analüüsimisel saab ja tuleks kasutada standardhälvet, kuna kaks näiliselt ühesuguse keskmisega komplekti võivad väärtuste levimisel osutuda täiesti erinevaks.
Näide
Võtame kaks rida numbreid.
a) 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Keskmine - 5. St. hälve = 2,7386
b) 20,1,7,1,15,-1,-20,4,18,5. Keskmine - 5. St. kõrvalekalle = 12,2066
Kui te ei hoia tervet arvuseeriat silme ees, siis standardhälbe indikaator näitab, et juhul "b" on väärtused palju rohkem hajutatud oma keskmise väärtuse ümber.
Jämedalt öeldes on seerias “b” väärtus 5 pluss-miinus 12 (keskmiselt) - mitte täpne, kuid see paljastab tähenduse.
Kuidas arvutada standardhälvet
Standardhälbe arvutamiseks võite kasutada investeerimisfondide tootluse standardhälbe arvutamisest laenatud valemit:
Siin on N koguste arv,
DOHaverage – kõigi väärtuste keskmine,
DOH periood – väärtus N.
Excelis nimetatakse vastavat funktsiooni STANDARDEVAL (või programmi ingliskeelses versioonis STDEV).
Samm-sammulised juhised on järgmised.
- Arvutage arvude jada keskmine.
- Iga väärtuse jaoks määrake keskmise ja selle väärtuse erinevus.
- Arvutage nende erinevuste ruutude summa.
- Jagage saadud summa seeria numbrite arvuga.
- Võtke ruutjuur numbrist, mille saite viimases etapis.
Teie sõpradele on see teave kasulik. Jaga nendega!
Arvutame sissePRLEXCELvalimi dispersioon ja standardhälve. Arvutame ka juhusliku suuruse dispersiooni, kui selle jaotus on teada.
Esmalt kaalume dispersioon, siis standardhälve.
Valimi dispersioon
Valimi dispersioon (valimi dispersioon,näidisdispersioon) iseloomustab massiivi väärtuste levikut võrreldes .
Kõik 3 valemit on matemaatiliselt samaväärsed.
Esimesest valemist on selge, et valimi dispersioon on massiivi iga väärtuse ruudu hälvete summa keskmisest, jagatud valimi suurusega miinus 1.
dispersioonid proovid kasutatakse DISP() funktsiooni, inglise keel. nimetus VAR, st. VARiance. Alates versioonist MS EXCEL 2010 on soovitatav kasutada selle analoogi DISP.V(), inglise keelt. nimetus VARS, s.o. Näidisvariance. Lisaks on alates MS EXCEL 2010 versioonist funktsioon DISP.Г(), inglise keel. nimi VARP, st. Populatsiooni VARiance, mis arvutab dispersioon Sest elanikkonnast. Kogu erinevus taandub nimetajas: n-1 asemel, nagu DISP.V(), on DISP.G() nimetajas vaid n. Enne MS EXCEL 2010 kasutati üldkogumi dispersiooni arvutamiseks funktsiooni VAR().
Valimi dispersioon
=QUADROTCL(proov)/(COUNT(proov)-1)
=(SUM(Sample)-COUNT(Sample)*AVERAGE(Sample)^2)/ (COUNT(Sample)-1)- tavaline valem
=SUM((Sample -AVERAGE(Sample))^2)/ (COUNT(Sample)-1) –
Valimi dispersioon on võrdne 0-ga ainult siis, kui kõik väärtused on üksteisega võrdsed ja vastavalt võrdsed keskmine väärtus. Tavaliselt, mida suurem on väärtus dispersioonid, seda suurem on massiivi väärtuste levik.
Valimi dispersioon on punkthinnang dispersioonid juhusliku suuruse jaotus, millest see tehti näidis. Ehitusest usaldusvahemikud hindamisel dispersioonid saab lugeda artiklist.
Juhusliku suuruse dispersioon
Arvutada dispersioon juhuslik muutuja, peate seda teadma.
Sest dispersioonid juhuslikku muutujat X tähistatakse sageli kui Var(X). Dispersioon võrdne keskmisest E(X) kõrvalekalde ruuduga: Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]
dispersioon arvutatakse valemiga:
kus x i on väärtus, mille juhuslik suurus võib võtta, ja μ on keskmine väärtus (), p(x) on tõenäosus, et juhuslik muutuja saab väärtuse x.
Kui juhuslikul muutujal on , siis dispersioon arvutatakse valemiga:
Mõõtmed dispersioonid vastab algsete väärtuste mõõtühiku ruudule. Näiteks kui valimi väärtused esindavad osa massi mõõtmisi (kg), on dispersiooni mõõde kg 2 . Seda võib olla raske tõlgendada, nii et väärtuste leviku iseloomustamiseks on väärtus, mis on võrdne ruutjuurega dispersioonid – standardhälve.
Mõned omadused dispersioonid:
Var(X+a)=Var(X), kus X on juhuslik suurus ja a on konstant.
Var(aХ)=a 2 Var(X)
Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2
Seda dispersiooniomadust kasutatakse artikkel lineaarse regressiooni kohta.
Var(X+Y)=Muut(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), kus X ja Y on juhuslikud suurused, Cov(X;Y) on nende juhuslike suuruste kovariatsioon.
Kui juhuslikud suurused on sõltumatud, siis nad kovariatsioon on võrdne 0-ga ja seetõttu Var(X+Y)=Muut(X)+Var(Y). Seda dispersiooniomadust kasutatakse tuletamisel.
Näitame, et sõltumatute suuruste korral Var(X-Y)=Var(X+Y). Tõepoolest, Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Muut(-Y)= Var(X)+Muut(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 Var(Y)= Var(X)+Muut(Y)= Var(X+Y). Seda dispersiooniomadust kasutatakse konstrueerimiseks.
Näidis standardhälve
Näidis standardhälve on mõõt selle kohta, kui laialt hajutatud on valimi väärtused võrreldes nende .
A-prioor, standardhälve võrdne ruutjuurega dispersioonid:
Standardhälve ei võta arvesse väärtuste suurust näidis, vaid ainult väärtuste hajutamise aste nende ümber keskmine. Selle illustreerimiseks toome näite.
Arvutame 2 valimi standardhälbe: (1; 5; 9) ja (1001; 1005; 1009). Mõlemal juhul s = 4. On ilmne, et standardhälbe ja massiivi väärtuste suhe erineb proovide vahel oluliselt. Sellistel juhtudel kasutatakse seda Variatsioonikoefitsient(Variatsioonikordaja, CV) - suhe Standardhälve keskmisele aritmeetika, väljendatuna protsentides.
MS EXCEL 2007 ja varasemates versioonides arvutamiseks Näidis standardhälve kasutatakse funktsiooni =STDEVAL(), inglise keel. nimi STDEV, st. Standardne kõrvalekalle. MS EXCEL 2010 versioonist on soovitatav kasutada selle analoogi =STDEV.B() , inglise keel. nimi STDEV.S, st. Standardhälbe näidis.
Lisaks on alates MS EXCEL 2010 versioonist funktsioon STANDARDEV.G(), inglise keel. nimi STDEV.P, st. Population Standard DEViation, mis arvutab standardhälve Sest elanikkonnast. Kogu erinevus tuleneb nimetajas: n-1 asemel, nagu STANDARDEV.V(), on STANDARDEVAL.G() nimetajas lihtsalt n.
Standardhälve saab arvutada ka otse allolevate valemite abil (vt näidisfaili)
=JUUR(QUADROTCL(proov)/(COUNT(proov)-1))
=JUUR((SUM(Sample)-COUNT(Sample)*AVERAGE(Sample)^2)/(COUNT(Sample)-1))
Muud hajumise mõõdud
Funktsioon SQUADROTCL() arvutab koos väärtuste kõrvalekallete ruudu summa nendest keskmine. See funktsioon tagastab sama tulemuse kui valem =DISP.G( Näidis)*KONTROLLIMA( Näidis), Kus Näidis- viide vahemikule, mis sisaldab prooviväärtuste massiivi (). Funktsiooni QUADROCL() arvutused tehakse järgmise valemi järgi:
Funktsioon SROTCL() on ka andmekogumi leviku mõõt. Funktsioon SROTCL() arvutab väärtuste kõrvalekallete absoluutväärtuste keskmise keskmine. See funktsioon tagastab valemiga sama tulemuse =SUMPRODUCT(ABS(Sample-AVERAGE(Sample)))/COUNT(Sample), Kus Näidis- link vahemikule, mis sisaldab prooviväärtuste massiivi.
Funktsiooni SROTCL () arvutused tehakse järgmise valemi järgi:
Tere päevast
Selles artiklis otsustasin vaadata, kuidas standardhälve töötab Excelis funktsiooni STANDARDEVAL abil. Ma lihtsalt pole seda väga pikka aega kirjeldanud ega kommenteerinud ja ka lihtsalt sellepärast, et see on väga kasulik funktsioon neile, kes õpivad kõrgemat matemaatikat. Ja õpilaste abistamine on püha; ma tean oma kogemusest, kui raske on seda õppida. Tegelikkuses saab standardhälbe funktsioone kasutada müüdavate toodete stabiilsuse määramiseks, hindade loomiseks, sortimendi korrigeerimiseks või moodustamiseks ning muude sama kasulike müügianalüüside tegemiseks.
Excel kasutab selle dispersioonifunktsiooni mitut varianti.
Matemaatiline teooria
Esmalt natuke teooriast, kuidas saab standardhälbe funktsiooni kirjeldada matemaatilises keeles selle kasutamiseks Excelis, analüüsimaks näiteks müügistatistika andmeid, aga sellest hiljem. Hoiatan kohe, kirjutan palju arusaamatuid sõnu...)))), kui midagi allpool tekstis, otsige kohe programmis praktilist rakendust.
Mida täpselt standardhälve teeb? See hindab juhusliku suuruse X standardhälvet selle matemaatilise ootuse suhtes, tuginedes selle dispersiooni erapooletule hinnangule. Nõus, see kõlab segadusse ajavalt, kuid ma arvan, et õpilased saavad aru, millest me tegelikult räägime!
Esiteks peame määrama "standardhälbe", et hiljem arvutada "standardhälve", valem aitab meid selles: 
Valemit saab kirjeldada järgmiselt: seda mõõdetakse samades ühikutes kui juhusliku suuruse mõõtmisi ja seda kasutatakse standardse aritmeetilise keskmise vea arvutamisel, usaldusintervallide koostamisel, hüpoteeside testimisel statistika jaoks või lineaarsete väärtuste analüüsimisel. sõltumatute muutujate vaheline seos. Funktsioon on määratletud sõltumatute muutujate dispersiooni ruutjuurena.
Nüüd saame määratleda ja standardhälve on juhusliku suuruse X standardhälbe analüüs selle matemaatilise perspektiivi suhtes, mis põhineb selle dispersiooni erapooletul hinnangul. Valem on kirjutatud järgmiselt: 
Märgin, et kõik kaks hinnangut on kallutatud. Üldjuhul ei ole võimalik erapooletut hinnangut koostada. Kuid erapooletu dispersiooni hinnangul põhinev hinnang on järjepidev.
Praktiline rakendamine Excelis
Noh, nüüd eemaldugem igavast teooriast ja vaatame praktikas, kuidas funktsioon STANDARDEVAL töötab. Ma ei käsitle Excelis kõiki standardhälbe funktsiooni variatsioone, piisab ühest, kuid näidetes. Näitena vaatame, kuidas määratakse müügi stabiilsuse statistika.
Kõigepealt vaadake funktsiooni õigekirja ja nagu näete, on see väga lihtne:
STANDARDDEVIATION.Г(_number1_;_number2_; ….), kus:
Nüüd loome näidisfaili ja selle põhjal, kuidas see funktsioon töötab. 
Kuna analüütiliste arvutuste tegemiseks on vaja kasutada vähemalt kolme väärtust, nagu põhimõtteliselt igas statistilises analüüsis, võtsin tinglikult 3 perioodi, see võib olla aasta, kvartal, kuu või nädal. Minu puhul - kuu. Maksimaalse töökindluse tagamiseks soovitan võtta võimalikult palju perioode, kuid mitte vähem kui kolm. Kõik tabelis olevad andmed on valemi toimimise ja funktsionaalsuse selguse huvides väga lihtsad.
Esiteks peame arvutama kuu keskmise väärtuse. Kasutame selleks funktsiooni AVERAGE ja saame valemi: = AVERAGE(C4:E4). 
Nüüd saame tegelikult standardhälbe leida funktsiooni STANDARDEVAL.G abil, mille väärtuses tuleb iga perioodi kohta sisestada toote müük. Tulemuseks on valem järgmisel kujul: =STANDARDHÕLVE.Г(C4;D4;E4). 
Noh, pool tööd on tehtud. Järgmise sammuna moodustatakse “Variatsioon”, mis saadakse jagades keskmise väärtuse, standardhälbega ja teisendades tulemuse protsentideks. Saame järgmise tabeli: 
Noh, põhiarvutused on tehtud, jääb üle vaid välja mõelda, kas müük on stabiilne või mitte. Võtame tingimuseks, et 10% hälbeid peetakse stabiilseks, 10-25% on need väikesed kõrvalekalded, kuid kõik üle 25% ei ole enam stabiilne. Tulemuse saamiseks vastavalt tingimustele kasutame loogilist ja tulemuse saamiseks kirjutame valemi:
IF(H4<0,1;"стабильно";ЕСЛИ(H4<0,25;"нормально";"не стабильно"))
Kõik vahemikud on võetud selguse huvides; teie ülesannete tingimused võivad olla täiesti erinevad. 
Andmete visualiseerimise parandamiseks, kui teie tabelis on tuhandeid positsioone, peaksite kasutama võimalust rakendada teatud tingimusi, mida vajate, või kasutada teatud valikute esiletõstmiseks värviskeemi abil. See on väga selge.
Esmalt valige need, mille jaoks tingimusvormingut rakendate. Valige juhtpaneelil "Kodu" "Tingimuslik vormindamine" ja rippmenüüst "Reegelid lahtrite esiletõstmiseks" ja seejärel klõpsake menüükäsku "Tekst sisaldab...". Ilmub dialoogiboks, kuhu sisestate oma tingimused.
Kui olete tingimused üles kirjutanud, näiteks "stabiilne" - roheline, "tavaline" - kollane ja "ebastabiilne" - punane, saame ilusa ja arusaadava tabeli, milles näete, millele kõigepealt tähelepanu pöörata.
VBA kasutamine funktsiooni STDEV.Y jaoks
Kõik huvilised saavad oma arvutused makrode abil automatiseerida ja kasutada järgmist funktsiooni:
Funktsioon MyStDevP(Arr) Dim x, aCnt&, aSum#, aAver#, tmp# Iga x jaoks In Arr aSum = aSum + x "arvutage massiivi elementide summa aCnt = aCnt + 1 "arvutage elementide arv Järgmine x aAver = aSum / aCnt "keskmine väärtus Iga x In Arr tmp = tmp + (x - aAver) ^ 2 "arvutage massiivi elementide erinevuse ja keskmise väärtuse ruutude summa Next x MyStDevP = Sqr(tmp / aCnt ) "arvutage STANDARDEV.G() Lõppfunktsioon
Funktsioon MyStDevP(Arr) Dim x , aCnt & , aSum #, aAver#, tmp# Iga x In Arr aSum = aSum + x "Arvutage massiivi elementide summa |
Protsendihälbe mõiste viitab kahe arvväärtuse erinevusele protsentides. Toome konkreetse näite: oletame, et ühel päeval müüdi hulgilaost 120 tabletti ja järgmisel päeval - 150 tk. Müügimahtude vahe on ilmne, järgmisel päeval müüdi veel 30 tabletti. Lahutades 150-st arvu 120, saame hälbe, mis võrdub arvuga +30. Tekib küsimus: mis on protsentuaalne hälve?
Kuidas arvutada Excelis protsentuaalset hälvet
Protsentuaalne hälve arvutatakse, lahutades uuest väärtusest vana väärtuse ja jagades seejärel tulemuse vana väärtusega. Selle valemi arvutamise tulemus Excelis tuleks kuvada lahtri protsendivormingus. Selles näites on arvutusvalem järgmine (150-120)/120=25%. Valemit on lihtne kontrollida: 120+25%=150.
Märge! Kui vahetame vanad ja uued numbrid, saame juurdehindluse arvutamise valem.
Alloleval joonisel on näide ülaltoodud arvutuse esitamisest Exceli valemina. Lahtris D2 olev valem arvutab protsentuaalse kõrvalekalde jooksva ja eelmise aasta müügiväärtuste vahel: =(C2-B2)/B2
Oluline on pöörata tähelepanu sulgude olemasolule selles valemis. Vaikimisi on Excelis jagamistehte alati ülimuslik lahutamistoimingu ees. Seega, kui me sulgusid ei pane, jagatakse esmalt väärtus ja seejärel lahutatakse sellest veel üks väärtus. Selline arvutus (ilma sulgudeta) on ekslik. Arvutuse esimese osa sulgemine valemis sulgudega tõstab lahutamistehte prioriteedi automaatselt üle jagamistehte.
Sisestage valem õigesti sulgudega lahtrisse D2 ja kopeerige see lihtsalt vahemiku D2:D5 ülejäänud tühjadesse lahtritesse. Valemi kiireimaks kopeerimiseks viige hiirekursor lihtsalt klaviatuuri kursori markerile (paremasse alumisse nurka), nii et hiirekursor muutub noolest mustaks ristiks. Seejärel lihtsalt topeltklõpsake hiire vasaku nupuga ja Excel täidab tühjad lahtrid automaatselt valemiga ja määrab vahemiku D2:D5, mis tuleb täita kuni lahtrini D5 ja mitte rohkem. See on väga mugav Exceli eluhäkk.
Alternatiivne valem protsendihälbe arvutamiseks Excelis
Alternatiivses valemis, mis arvutab müügiväärtuste suhtelise hälbe jooksvast aastast, jagage see kohe eelmise aasta müügiväärtustega ja alles siis lahutatakse tulemusest üks: =C2/B2-1.
Nagu jooniselt näha, on alternatiivse valemi arvutamise tulemus sama, mis eelmises ja seega õige. Kuid alternatiivset valemit on lihtsam kirjutada, kuigi mõnel võib selle tööpõhimõtte mõistmiseks olla seda keerulisem lugeda. Või on raskem aru saada, millise väärtuse antud valem arvutuse tulemusel annab, kui seda ei allkirjastata.
Selle alternatiivse valemi ainsaks puuduseks on suutmatus arvutada negatiivsete arvude kõrvalekalde protsenti lugejas või asendusnumbris. Isegi kui kasutame valemis funktsiooni ABS, tagastab valem eksliku tulemuse, kui asenduses olev arv on negatiivne.
Kuna Excelis on vaikimisi jagamistehte prioriteet suurem kui lahutamistehte, siis pole selles valemis vaja sulgusid kasutada.
Standardhälve on üks neid statistilisi termineid ärimaailmas, mis annab usaldusväärsuse inimestele, kes saavad selle vestluses või esitluses hästi välja tuua, jättes samas ebamäärase segaduse neile, kes ei tea, mis see on, kuid on liiga piinlik. küsi. Tegelikult ei mõista enamik juhte standardhälbe mõistet ja kui olete üks neist, on aeg lõpetada vales elamine. Tänases artiklis räägin teile, kuidas see alahinnatud statistiline meede aitab teil paremini mõista andmeid, millega töötate.
Mida mõõdab standardhälve?
Kujutage ette, et olete kahe poe omanik. Ja kahjude vältimiseks on oluline omada selget kontrolli varude jääkide üle. Püüdes välja selgitada, milline juht haldab laoseisu paremini, otsustate analüüsida viimase kuue nädala laoseisu. Mõlema kaupluse keskmine laokulu nädalas on ligikaudu sama ja moodustab ligikaudu 32 tavaühikut. Esmapilgul näitab keskmine äravool, et mõlemad juhid toimivad sarnaselt.
Kui aga teise poe tegevust lähemalt vaadata, siis veendud, et kuigi keskmine väärtus on õige, on laoseisu varieeruvus väga suur (10-58 USD). Seega võime järeldada, et keskmine ei hinda alati andmeid õigesti. Siin tulebki sisse standardhälve.
Standardhälve näitab, kuidas väärtused on jaotatud meie keskmise suhtes. Teisisõnu saate aru, kui suur on äravoolu levik nädalast nädalasse.
Meie näites kasutasime standardhälbe arvutamiseks koos keskmisega Exceli funktsiooni STDEV.
Esimese juhi puhul oli standardhälve 2. See näitab, et iga valimi väärtus erineb keskmiselt 2 võrra keskmisest. Kas see on hea? Vaatame küsimust teise nurga alt – standardhälve 0 ütleb meile, et iga väärtus valimis on võrdne selle keskmisega (meie puhul 32,2). Seega ei erine standardhälve 2 palju 0-st, mis näitab, et enamik väärtusi on keskmise lähedal. Mida lähemal on standardhälve 0-le, seda usaldusväärsem on keskmine. Veelgi enam, 0-le lähedane standardhälve näitab andmete vähest varieeruvust. See tähendab, et äravoolu väärtus standardhälbega 2 näitab esimese halduri uskumatut järjepidevust.
Teise kaupluse puhul oli standardhälve 18,9. See tähendab, et äravoolu maksumus erineb nädalast nädalasse keskmiselt 18,9 võrra. Hull levi! Mida kaugemal on standardhälve nullist, seda vähem täpne on keskmine. Meie puhul näitab näitaja 18,9, et keskmist väärtust (32,8 USD nädalas) lihtsalt ei saa usaldada. Samuti ütleb see meile, et iganädalane äravool on väga erinev.
See on lühidalt standardhälbe mõiste. Kuigi see ei anna ülevaadet muudest olulistest statistilistest mõõtmistest (režiim, mediaan...), mängib standardhälve enamikus statistilistes arvutustes otsustavat rolli. Standardhälbe põhimõtete mõistmine heidab valgust paljudele teie äriprotsessidele.
Kuidas arvutada standardhälvet?
Nüüd teame, mida standardhälbe arv ütleb. Mõelgem välja, kuidas see arvutatakse.
Vaatame andmekogumit vahemikus 10 kuni 70 sammuga 10. Nagu näete, olen juba arvutanud nende standardhälbe väärtuse, kasutades funktsiooni STANDARDEV lahtris H2 (oranžis).
Allpool on toodud sammud, mida Excel teeb, et jõuda 21.6.
Pange tähele, et kõik arvutused visualiseeritakse paremaks mõistmiseks. Tegelikult toimub Excelis arvutamine koheselt, jättes kõik sammud kulisside taha.
Esiteks leiab Excel näidise keskmise. Meie puhul osutus keskmiseks 40, mis järgmises etapis lahutatakse igast valimi väärtusest. Iga saadud erinevus ruudustatakse ja summeeritakse. Saime summa, mis on võrdne 2800-ga, mis tuleb jagada näidiselementide arvuga, millest on lahutatud 1. Kuna meil on 7 elementi, siis tuleb välja, et peame 2800 jagama 6-ga. Saadud tulemusest leiame ruutjuure, see näitaja on standardhälve.
Neile, kes pole visualiseerimise abil standardhälbe arvutamise põhimõttes täiesti selged, annan selle väärtuse leidmise matemaatilise tõlgenduse.
Funktsioonid standardhälbe arvutamiseks Excelis
Excelis on mitut tüüpi standardhälbe valemeid. Peate vaid sisestama =STDEV ja näete ise.
Väärib märkimist, et funktsioonid STDEV.V ja STDEV.G (loendi esimene ja teine funktsioon) dubleerivad vastavalt funktsioone STDEV ja STDEV (loendi viies ja kuues funktsioon), mis säilitati varasemaga ühilduvuse huvides. Exceli versioonid.
Üldiselt näitab funktsioonide .B ja .G lõppude erinevus valimi või üldkogumi standardhälbe arvutamise põhimõtet. Nende kahe massiivi erinevust selgitasin juba eelmises.
Funktsioonide STANDARDEV ja STANDDREV (loendi kolmas ja neljas funktsioon) eripära on see, et massiivi standardhälbe arvutamisel võetakse arvesse loogilisi ja tekstiväärtusi. Tekst ja tõelised tõeväärtused on 1 ja väärad tõeväärtused on 0. Ma ei kujuta ette olukorda, kus mul oleks neid kahte funktsiooni vaja, seega arvan, et neid saab ignoreerida.