Deterministlike signaalide korrelatsioonianalüüs. Signaali korrelatsiooni funktsioonid. Deterministlike signaalide korrelatsioon-spektraalanalüüs

Ärakiri

1 1 SIGNAALID ja LINEAARSÜSTEEMID Signaalid ja lineaarsüsteemid. Signaalide korrelatsioon Teema 6. SIGNAALIDE KORRELAATSIOON Äärmuslik hirm ja äärmine julguse kirg ajavad ühtviisi häirima mao ja põhjustavad kõhulahtisust. Michel Montaigne. Prantsuse jurist-mõtleja, 16. sajand. See on number! Need kaks funktsiooni on 100% korrelatsioonis kolmandaga ja on üksteise suhtes ortogonaalsed. Noh, Kõigevägevamal oli maailma loomise ajal nalja. Anatoli Põšmintsev. Uurali koolkonna Novosibirski geofüüsik, 20. sajand. Sisukord 1. Signaalide autokorrelatsiooni funktsioonid. Autokorrelatsioonifunktsioonide (ACF) mõiste. Ajaliselt piiratud signaalide ACF. Perioodiliste signaalide ACF. Autokovariansi funktsioonid (ACF). Diskreetsete signaalide ACF. Mürarikaste signaalide ACF. Koodisignaalide ACF. 2. Signaalide ristkorrelatsioonifunktsioonid (CCF). Ristkorrelatsioonifunktsioon (CCF). Müraliste signaalide ristkorrelatsioon. Diskreetsete signaalide VCF. Perioodiliste signaalide hindamine müras. Vastastikuse korrelatsioonikordaja funktsioon. 3. Korrelatsioonifunktsioonide spektraaltihedused. ACF spektraalne tihedus. Signaali korrelatsiooni intervall. VKF spektri tihedus. Korrelatsioonifunktsioonide arvutamine FFT abil. SISSEJUHATUS Korrelatsioon ja selle erijuht tsentreeritud signaalide puhul, kovariatsioon, on signaali analüüsi meetod. Esitame ühe meetodi kasutamise võimaluse. Oletame, et on olemas signaal s(t), mis võib (või ei pruugi) sisaldada mingit lõpliku pikkusega T jada x(t), mille ajaline asukoht meid huvitab. Selle jada otsimiseks ajaaknas pikkusega T, mis libiseb mööda signaali s(t), arvutatakse signaalide s(t) ja x(t) skalaarkorrutised. Seega “kandame” soovitud signaali x(t) signaalile s(t), libisedes mööda selle argumenti ja skalaarkorrutise väärtuse järgi hindame signaalide sarnasuse astet võrdluspunktides. Korrelatsioonianalüüs võimaldab tuvastada signaalides (või signaalide jadades) teatud seose olemasolu signaali väärtuste muutuste vahel sõltumatul muutujal, st kui ühe signaali suured väärtused (suhteline) signaali keskmiste väärtustega) seostatakse teise signaali suurte väärtustega (positiivne korrelatsioon) või vastupidi, ühe signaali väikesed väärtused on seotud teise signaali suurte väärtustega (negatiivne korrelatsioon) või kaks signaali ei ole kuidagi seotud (nullkorrelatsioon). Signaalide funktsionaalruumis saab seda seoseastet väljendada korrelatsioonikordaja normaliseeritud ühikutes, s.o. signaalivektorite vahelise nurga koosinuses ja võtab vastavalt väärtused vahemikus 1 (signaalide täielik kokkulangevus) kuni -1 (täielik vastand) ega sõltu mõõtühikute väärtusest (skaalast). . Autokorrelatsiooni versioonis kasutatakse sarnast tehnikat signaali s(t) skalaarkorrutise määramiseks oma koopiaga, mis libiseb mööda argumenti. Autokorrelatsioon võimaldab hinnata praeguste signaalinäidiste keskmist statistilist sõltuvust nende eelmistest ja järgnevatest väärtustest (signaali väärtuste nn korrelatsiooniraadius), samuti tuvastada perioodiliselt korduvate elementide olemasolu signaalis. Korrelatsioonimeetodid on eriti olulised juhuslike protsesside analüüsimisel, et tuvastada mittejuhuslikke komponente ja hinnata nende protsesside mittejuhuslikke parameetreid. Pange tähele, et mõistete "korrelatsioon" ja "kovarians" osas on segadust. Matemaatikakirjanduses kasutatakse terminit "kovariatsioon" tsentreeritud funktsioonide kohta ja "korrelatsioon" suvaliste funktsioonide kohta. Tehnilises kirjanduses ja eriti signaale ja nende töötlemise meetodeid käsitlevas kirjanduses kasutatakse sageli täpselt vastupidist terminoloogiat. See ei oma põhimõttelist tähtsust, kuid kirjanduslike allikatega tutvumisel tasub tähelepanu pöörata nende mõistete aktsepteeritud eesmärgile: SIGNAALIDE AUTOKORRELATSIOONI FUNKTSIOONID. Signaalide autokorrelatsioonifunktsioonide mõiste. Lõpliku energiaga signaali s(t) autokorrelatsioonifunktsioon (CF - korrelatsioonifunktsioon) on signaali kuju kvantitatiivne integraaltunnus, mis tuvastab signaalis valimite omavahelise ajalise seose olemuse ja parameetrid, mis alati esinevad. perioodiliste signaalide jaoks, samuti intervall ja Ste-

2 2 karistust praeguse aja näidu väärtuste sõltuvuse eest praeguse hetke eelajaloost. ACF määratakse kahe signaali s(t) koopia korrutise integraaliga, mis on üksteise suhtes aja järgi nihutatud: B s () = s(t) s(t+) dt = s(t), s (t+) = s(t) s (t+)cos(). (6.1.1) Nagu sellest avaldisest järeldub, on ACF signaali ja selle koopia skalaarkorrutis funktsionaalses sõltuvuses nihke muutuvast väärtusest. Sellest lähtuvalt on ACF-il energia füüsiline mõõde ja väärtusel = 0 on ACF-i väärtus otseselt võrdne signaali energiaga ja on maksimaalne võimalik (signaali ja iseenda vastasmõju nurga koosinus on võrdne 1-ga) : B s (0) = s(t) 2 dt = E s. ACF viitab paarisfunktsioonidele, mida on lihtne kontrollida, asendades avaldises (6.1.1) muutuja t = t-: B s () = s(t-) s(t) dt = B s (-). Maksimaalne ACF, mis võrdub signaali energiaga väärtusel =0, on alati positiivne ja ACF-i moodul mis tahes aja nihke väärtusel ei ületa signaali energiat. Viimane tuleneb otseselt skalaarkorrutise omadustest (nagu ka Cauchy-Bunyakovsky võrratus): s(t), s(t+) = s(t) s(t+ cos (), cos () = 1 at = 0 , s(t) , s(t+) = s(t) s(t) = E s, cos ()< 1 при 0, s(t), s(t+) = s(t) s(t+) cos () < E s. Рис В качестве примера на рис приведены два сигнала прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной T амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения). С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак + в выражении (6.1.1) означает, что при увеличении значений копия сигнала s(t+) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (6.1.1) функции s(t-) вместо s(t+).

3 3 B s () = s(t) s(t-) dt. (6.1.1") Lõplike signaalide korral väheneb nihke väärtuse suurenedes signaali ajutine kattumine selle koopiaga ning vastavalt kipuvad interaktsiooninurga koosinus ja skalaarkorrutis tervikuna nulli: lim Bs(τ) = 0. τ ACF, mis arvutatakse tsentreeritud signaali väärtusest s(t), on signaali autokovariantsi funktsioon: C s () = dt, (6.1.2) kus s on signaali keskmine väärtus. signaal.Kovariatsioonifunktsioone seostatakse korrelatsioonifunktsioonidega üsna lihtsa seosega: C s () = B s () - 2 s.Ajaliselt piiratud signaalide ACF Praktikas uuritakse ja analüüsitakse tavaliselt teatud intervalliga määratud signaale. Erinevatel ajavahemikel määratletud signaalide ACF-i võrdlemiseks leiab praktilist rakendust ACF-i modifikatsioon koos intervalli pikkuse normaliseerimisega. Seega näiteks signaali määramisel intervallile: B s () = b 1 s (t) s(t+) dt (6.1.3) a a ACF saab arvutada ka nõrgalt summutatud lõpmatu energiaga signaalide jaoks, kui signaali ja selle koopiate skalaarkorrutise keskmine väärtus, kui signaali seadistusintervall kaldub lõpmatusse: b T B s () lim s(t) s(t τ) dt T T 1 0. (6.1.4) Nende avaldiste kohaselt on ACF-il võimsuse füüsiline mõõde ja see on võrdne keskmise vastastikuse võimsuse signaali ja selle koopiaga funktsionaalne sõltuvus koopia nihkest. Perioodiliste signaalide ACF. Perioodiliste signaalide energia on lõpmatu, seetõttu arvutatakse perioodiliste signaalide ACF ühe perioodi T peale, kusjuures keskmistatakse signaali skalaarkorrutis ja selle perioodi sees nihutatud koopia: Matemaatiliselt rangem avaldis: B s () lim T s(t) s(t - τ) dt T T 1 0 B s () = (1/T) T s(t) s(t-) dt. (6.1.5) 0 Kui =0, on perioodiga normaliseeritud ACF väärtus võrdne perioodi signaalide keskmise võimsusega. Sel juhul on perioodiliste signaalide ACF perioodiline funktsioon sama perioodiga T. Seega on signaali s(t) = A cos(0 t+ 0) jaoks T=2/0 juures: ω π/ω0 0 B s () = A cos (0 t+ 0) A cos(0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos(0). (6.1.6) 2π π/ω 0 Saadud tulemus ei sõltu harmoonilise signaali algfaasist, mis on tüüpiline mistahes perioodilistele signaalidele ja on üks ACF omadusi. Autokorrelatsioonifunktsioone kasutades saate kontrollida suvaliste signaalide perioodilisi omadusi. Perioodilise signaali autokorrelatsioonifunktsiooni näide on näidatud joonisel. Autokoviatsioonifunktsioonid (ACF) arvutatakse sarnaselt, kasutades tsentreeritud signaali väärtusi. Nende funktsioonide tähelepanuväärne omadus on nende lihtne seos 2-sekundiliste signaalide hajutamisega (standardi ruut - signaali väärtuste standardhälve keskmisest väärtusest). Nagu teate, tea...

4 4 dispersiooni väärtus võrdub signaali keskmise võimsusega, mis on järgmine: C s () s 2, C s (0) = s 2 s(t) 2. (6.1.7) FAC väärtused on normaliseeritud dispersiooniväärtused on autokorrelatsioonikordaja funktsioonid: s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2 cos. (6.1.8) Seda funktsiooni nimetatakse mõnikord "tõeliseks" autokorrelatsioonifunktsiooniks. Normaliseerimise tõttu ei sõltu selle väärtused signaali väärtuste s(t) esitusühikutest (skaala) ja iseloomustavad signaali väärtuste vahelise lineaarse seose astet sõltuvalt signaalinäidiste vahelise nihke suurusest. . S()cos() väärtused võivad ulatuda 1-st (valimite täiuslik edasine korrelatsioon) kuni -1 (pöördkorrelatsioon). Joonis Joonisel on näide signaalidest s() ja s1() = s()+müra, mille FAK koefitsiendid vastavad neile signaalidele - s ja s1. Nagu graafikutelt näha, näitas FAK enesekindlalt signaalides perioodilisi võnkumisi. Müra signaalis s1() vähendas perioodiliste võnkumiste amplituudi ilma perioodi muutmata. Seda kinnitab C s / s1 kõvera graafik, st. Signaali s() FAC koos normaliseerimisega (võrdluseks) signaali dispersiooni väärtusega s1(), kus on selgelt näha, et müraimpulsid põhjustasid nende valimite täieliku statistilise sõltumatuse korral C väärtuse tõusu. s1 (0) C s (0) väärtuse suhtes ja "hägusas" mõnevõrra autokovariandikoefitsientide funktsiooni. See on tingitud asjaolust, et mürasignaalide väärtus s () kipub 0 juures olema 1 ja kõigub nulli ümber nulli juures, samas kui kõikumise amplituudid on statistiliselt sõltumatud ja sõltuvad signaalinäidiste arvust (need kipuvad olema arvuna nulli proovide arv suureneb). Diskreetsete signaalide ACF. Andmete diskreetimisintervalliga t = const teostatakse ACF arvutus intervallide = t järgi ja see kirjutatakse tavaliselt valimi nihke n arvude n diskreetfunktsioonina: B s (nt) = t s s -n. (6.1.9) Diskreetsed signaalid määratakse tavaliselt teatud pikkusega numbrimassiividena, mille valimite nummerdamine on k = 0,1, K juures t = 1, ja diskreetse ACF arvutamine energiaühikutes toimub ühesuunaliselt. versioon, võttes arvesse massiivide pikkust. Kui kasutatakse kogu signaalimassiivi ja ACF näidiste arv on võrdne massiivi näidiste arvuga, siis arvutatakse valemi järgi: B s (n) = K-n K K n s s -n. (6.1.10) Selle funktsiooni tegur K/(K-n) on parandustegur korrutatud ja summeeritud väärtuste arvu järkjärguliseks vähenemiseks nihke n suurenemisel. Ilma selle tsentreerimata signaalide korrigeerimiseta ilmub ACF väärtustes keskmiste väärtuste liitmise trend. Signaali võimsuse ühikutes mõõtmisel asendatakse kordaja K/(K-n) kordajaga 1/(K-n). Valemit (6.1.10) kasutatakse üsna harva, peamiselt väikese näidisarvuga deterministlike signaalide puhul. Juhuslike ja mürarikaste signaalide korral põhjustab nimetaja (K-n) ja korrutatud valimite arvu vähenemine nihke suurenedes statistiliste kõikumiste suurenemise ACF arvutuses. Nendes tingimustes tagab suurema töökindluse, kui ACF arvutatakse signaali võimsuse ühikutes, kasutades valemit: 0

5 K 5 B s (n) = K 1 s s -n, s -n = 0 at -n< 0, (6.1.11) 0 т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах -n или в правую сторону при использовании сдвигов +n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (6.1.10). Разницу между нормировками по формулам (6.1.10) и (6.1.11) можно наглядно видеть на рис Рис Формулу (6.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оценку математического ожидания: B s (n) = M{s s -n } s s. (6.1.12) n Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки. АКФ зашумленных сигналов. Зашумленный сигнал записывается в виде суммы v() = s()+q(). В общем случае, шум не обязательно должен иметь нулевое среднее значение, и нормированная по мощности автокорреляционная функция цифрового сигнала, содержащая N отсчетов, записывается в следующем виде: B v (n) = (1/N) s()+q(), s(-n)+q(-n) = = (1/N) = = B s (n) + M{s q -n } + M{q s -n } + M{q q -n }. B v (n) = B s (n) + s q n + q s n + q q n. (6.1.13) При статистической независимости полезного сигнала s() и шума q() с учетом разложения математического ожидания M{s q -n } = M{s } M{q -n } = s q может использоваться следующая формула: Рис B v (n) = B s (n) + 2 s q + q. (6.1.13") Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с незашумленным сигналом приведен на рис Из формул (6.1.13) следует, что АКФ зашумленного сигнала состоит из АКФ сигнальной компоненты полезного сигнала с наложенной затухающей до значения 2s q + q 2 шумовой функцией. При больших значениях K, когда q 0, имеет место B v (n) B s (n). Это дает возможность не только выделять по АКФ периодические сигналы, практически полностью скрытые в шуме (мощность шумов много больше мощности сигнала), но и с высокой точностью определять их период и форму в пределах периода, а для одночастотных гармонических сигналов и их амплитуду с использованием выражения (6.1.6).

6 Tabel 6.1. M Barkeri signaal ACF signaal 2 1, -1 2, 1, -1 3, 0, 1, 1, -1 4, 1, 0, -1 1, 1, -1, 1 4, -1, 0, 1 5 1, 1, 1, -1, 1 5, 0, 1, 0, 1 7 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1 7, 0, -1, 0, -1, 0 ,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1 11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0, 1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1 13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0, 1 6 Koodsignaalid on teatud tüüpi diskreetsed signaalid. Teatud koodisõna intervalli Mt korral saab neil olla ainult kaks amplituudiväärtust: 0 ja 1 või 1 ja 1. Koodide tuvastamisel olulisel müratasemel on eriti oluline koodsõna ACF kuju. Sellest vaatenurgast on parimad koodid, mille ACF-i külgsagara väärtused on kogu koodisõna intervalli pikkuses minimaalsed ja keskse tipu maksimaalne väärtus. Sellised koodid hõlmavad Barkeri koodi, mis on näidatud tabelis 6.1. Nagu tabelist näha, on koodi keskpiigi amplituud numbriliselt võrdne M väärtusega, samas kui külgvõnkumiste amplituud n 0 juures ei ületa SIGNAALIDE VASTASTIKUNE KORRELATSIOONI FUNKTSIOONI. Erinevate signaalide ristkorrelatsioonifunktsioon (CCF) kirjeldab nii kahe signaali kuju sarnasuse astet kui ka nende suhtelist asendit üksteise suhtes piki koordinaati (sõltumatu muutuja). Üldistades autokorrelatsioonifunktsiooni valemi (6.1.1) kahele erinevale signaalile s(t) ja u(t), saame signaalide järgmise skalaarkorrutise: B su () = s(t) u(t+) dt. (6.2.1) Signaalide ristkorrelatsioon iseloomustab nende signaalide peegelduvate nähtuste ja füüsikaliste protsesside teatud korrelatsiooni ning võib olla selle suhte stabiilsuse mõõt, kui signaale töödeldakse erinevates seadmetes eraldi. Lõpliku energiaga signaalide puhul on VCF samuti lõplik ja: B su () s(t) u(t), mis tuleneb Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsusest ja signaalinormide sõltumatusest koordinaatide nihkest. Muutuja t = t- asendamisel valemis (6.2.1) saame: B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (- ). Joonis Signaalid ja VKF. Sellest järeldub, et VCF, B su () B su (-) paarsustingimus ei ole täidetud ja VCF väärtuste maksimum ei pea olema = 0. Seda on selgelt näha joonisel fig. , kus antakse kaks identset signaali, mille keskpunktid on punktides 0,5 ja 1,5. Arvutamine valemiga (6.2.1) väärtuste järkjärgulise suurenemisega tähendab signaali s2(t) järjestikust nihet vasakule piki ajatelge (iga s1(t) väärtuse korral on väärtused s2(t+) ) on võetud integrandi jaoks). Kui =0 on signaalid ortogonaalsed ja B väärtus 12 ()=0. Maksimaalselt B 12 () täheldatakse, kui signaali s2(t) nihutatakse vasakule väärtuse =1 võrra, mille juures signaalid s1(t) ja s2(t+) on täielikult ühendatud. Samasuguseid CCF väärtusi vastavalt valemitele (6.2.1) ja (6.2.1") täheldatakse signaalide samas suhtelises asendis: kui signaali u(t) nihutatakse intervalli võrra s( t) paremale mööda ordinaattelge ja signaal s(t) signaali u(t) suhtes vasakule, st B su () = B us (-

7 7 Joonisel on CCF näited ristkülikukujulise signaali s(t) ja kahe identse kolmnurkse signaali u(t) ja v(t) jaoks. Kõigil signaalidel on sama kestus T, samas kui signaali v(t) nihutatakse ettepoole intervalli T/2 võrra. Signaalid s(t) ja u(t) on ajaliselt identsed ning signaalide “kattuv” ala on maksimaalne =0, mis on Joon. Signaalide vastastikused kovariatsioonifunktsioonid. ja on fikseeritud funktsiooniga B su. Samal ajal on funktsioon B su järsult asümmeetriline, kuna asümmeetrilise signaali kuju u(t) korral sümmeetrilise kuju s(t) korral (signaalide keskpunkti suhtes) on signaali "kattumisala" signaalid muutuvad sõltuvalt nihke suunast erinevalt (märk, kui väärtus tõuseb nullist). Kui signaali u(t) algpositsioon nihutatakse piki ordinaattelge vasakule (signaali s(t) ette - signaal v(t)), jääb CCF-i kuju muutumatuks ja nihkub paremale. sama nihke väärtusega, funktsioon B sv joonisel. Kui vahetada (6.2.1) funktsioonide avaldised kohad, on uuest funktsioonist B vs funktsioon B sv, mis peegeldub =0 suhtes. Neid omadusi arvesse võttes arvutatakse kogu CCF reeglina positiivsete ja negatiivsete viivituste jaoks eraldi: B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1") Müraliste signaalide ristkorrelatsioon. Kahe müraga signaali puhul u(t) = s1(t)+q1(t) ja v(t) = s2(t)+q2(t), kasutades tehnikat tuletamisvalemite ( 6.1.13) puhul, asendades signaali s(t) koopia signaaliga s2(t), on lihtne tuletada ristkorrelatsiooni valem järgmisel kujul: B uv () = B s1s2 ( ) + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2) Kolm viimast liiget punkti (6.2.2) paremal küljel vähenevad signaalide suurenedes nullini. Signaali määramise suurte intervallide korral , saab avaldise kirjutada järgmisel kujul: B uv () = B s1s2 () + s1( ) q2() + q1() s2() + q1() q2() (6.2.3) Null keskmise müra korral väärtused ja signaalide statistiline sõltumatus, kehtib järgmine: B uv () B s1s2 (). Diskreetsete signaalide CCF. Kõik analoogsignaalide VCF omadused kehtivad ka diskreetsete signaalide VCF puhul, samas kui diskreetsete signaalide omadused nende jaoks kehtivad ka ülaltoodud signaalid diskreetsete ACF-i (valemite) jaoks. Täpsemalt, kui t = const = 1 signaalide x() ja y() korral näidiste arvuga K: B xy (n) = Normaliseerituna võimsusühikutes : K K n K K-n 0 x y -n. (6.2.4) B xy (n) = K 1 x y -n x y n. (6.2.5) 0 Perioodiliste signaalide hindamine müras. Mürarikast signaali saab hinnata ristkorrelatsiooni teel võrdlussignaaliga katse-eksituse meetodil, reguleerides ristkorrelatsiooni funktsiooni maksimaalse väärtuseni. Mürast statistilise sõltumatuse ja q 0 signaali u()=s()+q() korral saab ristkorrelatsioonifunktsioon (6.2.2) signaali mustriga p() q2()=0 kujul: B üles () = B sp () + B qp () = B sp () + q p. Ja kuna q 0 kui N suureneb, siis B üles () B sp (). Ilmselt on funktsioonil B up() maksimum, kui p() = s(). Muutes mustri p() kuju ja maksimeerides funktsiooni B up(), saame s() hinnangu optimaalse kuju p() kujul. Ristkorrelatsioonikordaja funktsioon (MCF) on signaalide s(t) ja u(t) sarnasuse astme kvantitatiivne näitaja. Sarnaselt funktsiooniga

8 8 tegurit, arvutatakse see funktsioonide tsentreeritud väärtuste kaudu (vastastikuse kovariatsiooni arvutamiseks piisab, kui tsentreerida ainult üks funktsioonidest) ja normaliseeritakse standardfunktsioonide väärtuste korrutiseks s. (t) ja v(t): su () = C su ()/ s v. (6.2.6) Korrelatsioonikoefitsientide väärtuste muutmise intervall nihke ajal võib varieeruda vahemikus 1 (täielik pöördkorrelatsioon) kuni 1 (täielik sarnasus või sajaprotsendiline korrelatsioon). Nihetes, mille juures täheldatakse su() nullväärtusi, on signaalid üksteisest sõltumatud (korreleerimata). Ristkorrelatsioonikoefitsient võimaldab teil tuvastada signaalidevahelise ühenduse olemasolu, sõltumata signaalide füüsikalistest omadustest ja nende suurusest. Piiratud pikkusega mürarikaste diskreetsete signaalide CCF-i arvutamisel valemiga (6.2.4) on tõenäosus, et su (n) > 1 esinevad väärtused. Perioodiliste signaalide puhul CCF-i mõistet tavaliselt ei kasutata. välja arvatud sama perioodiga signaalid, näiteks sisend- ja väljundsignaalid süsteemide karakteristikute uurimisel. ACF-i spektraaltiheduse saab määrata järgmiste lihtsate kaalutluste põhjal. Avaldise (6.1.1) kohaselt on ACF signaali ja selle koopia skalaarkorrutise funktsioon, mis on nihutatud intervalli võrra -< < : B s () = s(t), s(t-). Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности: s(t), s(t-) = (1/2) S() S *() d Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-j), а для сопряженного спектра на множитель exp(j): S *() = S*() exp(j). С учетом этого получаем: s ()= (1/2) S() S*() exp(j) d = (1/2) S() 2 exp(j) d (6.3.1) Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье: B s () S() 2 = W s (). (6.3.2) Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ: S() 2 = B s () exp(-j) d. (6.3.3) Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности. Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов Рис Спектр несуществующей АКФ первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате по-

9 9 põhjustab ACF jagamise teatud pideva funktsiooni ja ristkülikukujulise impulsi summaks pikkusega 2 koos vastavate negatiivsete väärtuste ilmnemisega energiaspektris. Viimase näide on toodud joonisel fig (funktsioonide graafikud on näidatud, nagu paarisfunktsioonide puhul tavaks, ainult nende parema poolega). Piisavalt pikendatud signaalide ACF-id on tavaliselt piiratud suurusega (uuritakse piiratud andmekorrelatsiooni intervalle T/2 kuni T/2). ACF-i kärpimine on aga ACF-i korrutamine ristkülikukujulise valikuimpulsiga pikkusega T, mis sageduspiirkonnas kajastub tegeliku võimsusspektri konvolutsioonis vahelduva integraalsiinusfunktsiooniga sinc(t/2). Ühelt poolt põhjustab see võimsusspektri teatud silumist, mis on sageli kasulik näiteks olulise müratasemega signaalide uurimisel. Kuid teisest küljest võib energiapiikide suurust oluliselt alahinnata, kui signaal sisaldab harmoonilisi komponente, samuti negatiivsete võimsusväärtuste ilmnemist piikide ja hüpete servaosades. Näide nende tegurite avaldumisest on toodud joonisel Joon Signaali energiaspektri arvutamine erineva pikkusega ACF-ide abil. Teatavasti ei ole signaali võimsusspektritel faasikarakteristikut ja nendest on võimatu signaale rekonstrueerida. Järelikult puudub ka signaalide ACF-il kui võimsusspektrite ajutisel esitusel info signaalide faasikarakteristikute kohta ning signaalide rekonstrueerimine ACF-i abil on võimatu. Sama kujuga, ajas nihutatud signaalidel on sama ACF. Lisaks võivad erineva kujuga signaalidel olla sarnased ACF-id, kui neil on sarnased võimsusspektrid. Kirjutame võrrandi (6.3.1) ümber järgmisel kujul s(t) s(t-) dt = (1/2) S() S*() exp(j) d ja asendame selle avaldisega väärtuse =0 . Saadud võrdsus on hästi teada ja seda nimetatakse Parsevali võrrandiks s 2 (t) dt = (1/2) S() 2 d. See võimaldab teil arvutada signaali energiat nii signaali kirjelduse aja- kui ka sageduspiirkonnas. Signaali korrelatsiooni intervall on arvuline parameeter ACF laiuse ja signaali väärtuste olulise korrelatsiooni astme hindamiseks argumentide alusel. Kui eeldame, et signaalil s(t) on ligikaudu ühtlane energiaspekter väärtusega W 0 ja ülemine piirsagedus kuni V (tsentreeritud ristkülikukujulise impulsi kuju, nagu signaal 1 joonisel f V = 50 Hz ühepoolses esituses), siis määratakse signaali ACF avaldisega: Joonis ω B s () = (W o /) in 0 cos() d = (Wo in /) sin (in )/(in). Signaali korrelatsiooniintervalli k loetakse ACF-i keskpiigi laiuseks alates

10 10 maksimaalselt kuni nulljoone esimese ületamiseni. Sel juhul vastab ristkülikukujulise spektri jaoks, mille ülemine piirsagedus esimesel nulliületusel, sinc(в) = 0 at в =, kust: к = / в =1/2f в. (6.3.4) Mida kõrgem on signaali spektri ülemine piirsagedus, seda väiksem on korrelatsioonivahemik. Ülemisel piirsagedusel sujuva lõikega signaalide puhul mängib parameetri b rolli keskmine spektri laius (signaal 2 joonisel). Statistilise müra võimsusspektri tihedus ühe mõõtmise korral on juhuslik funktsioon W q () keskmise väärtusega W q () q 2, kus q 2 on müra dispersioon. Piirväärtuses, müra ühtlase spektraaljaotuse korral 0 kuni, kaldub müra ACF väärtusele B q () q 2 0 juures, B q () 0 0 juures, st. statistiline müra ei ole korrelatsioonis (0-ga). Lõplike signaalide ACF-i praktilised arvutused piirduvad tavaliselt nihkeintervalliga = (0, (3-5) ), millesse reeglina koondub põhiinfo signaalide autokorrelatsiooni kohta. TCF spektraaltiheduse saab saada samadel kaalutlustel nagu AFC puhul või otse valemist (6.3.1), asendades signaali S() spektraaltiheduse teise signaali spektraaltihedusega U() : su ()= (1/2 ) S*() U() exp(j) d (6.3.5) Või signaalide järjestuse muutmisel: us ()= (1/2) U*() S () exp(j) d (6.3.5 ") Korrutis S*()U() esindab signaalide s(t) ja u(t) vastastikust energiaspektrit W su (). Seega on U*() S() = W us (). Seetõttu on sarnaselt ACF-iga ristkorrelatsioonifunktsioon ja signaalide vastastikuse võimsuse spektraalne tihedus omavahel seotud Fourier' teisendustega: B su () W su () W* us () . (6.3.6) B us () W us () W* su (). (6.3 .6") Üldjuhul, välja arvatud paarisfunktsioonide spektrid, tingimusest paarsusele mittevastavus CCF-funktsioonide puhul järeldub, et vastastikused energiaspektrid on kompleksfunktsioonid: U() = A u () + j B u (), V() = A v () + j B v (). W uv = A u A v +B u B v +j(b u A v - A u B v) = Re W uv (w) + j Im W uv (), ja sisaldavad teatud faasi, mis on iseloomulikud harmoonilistele komponentidele. VCF, mis moodustab CCF maksimumi nihke. Joonisel 2 on selgelt näha CCF moodustumise tunnused, kasutades kahte sama kujuga signaali, mis on üksteise suhtes nihutatud. Joonis VKF-i moodustumine. Signaalide kuju ja nende suhteline asukoht on näidatud kujul A. Signaali s(t) spektri moodul ja argument on näidatud kujul B. Spektrimoodul u(t) on identne mooduliga S() . Samas vaates on näha vastastikuse signaali võimsusspektri S()U*() moodul. Teatavasti korrutatakse kompleksspektrite korrutamisel spektrite moodulid ja liidetakse faasinurgad, samas kui konjugeeritud spektri U*() puhul muutub faasinurk märki. Kui olete esimene, kes moodustab -

11 11 CCF (6.2.1) arvutamisel paikneb signaal s(t) ja signaal u(t-) ordinaatteljel on s(t) ees, siis faasinurgad S() suurenevad suunas. negatiivse nurga väärtused sageduse suurenemisel (arvestamata väärtuste perioodilist lähtestamist 2 võrra) ja faasinurgad U*() absoluutväärtustes on väiksemad kui faasinurgad s(t) ja suurenevad (konjugatsiooni tõttu) positiivsete väärtuste poole. Spektrite korrutamise tulemus (nagu on näha joonisel vaade C) on nurgaväärtuste U*() lahutamine faasinurkadest S(), samas kui spektri faasinurgad S()U *() jäävad negatiivsete väärtuste piirkonda, mis tagab kogu VCF funktsiooni (ja selle tippväärtuste) nihke piki telge nullist paremale teatud määral (identsete signaalide puhul signaalid piki ordinaati). Kui signaali u(t) algset asukohta nihutatakse signaali s(t) poole, vähenevad faasinurgad S()U*() piirväärtustes nullväärtustele, kui signaalid on täielikult joondatud, samal ajal kui funktsioon B su (t) nihkub nullväärtustele, enne ACF-ile lülitamist (identsete signaalide s(t) ja u(t) puhul). Deterministlike signaalide puhul on teada, et kui kahe signaali spektrid ei kattu ja vastavalt signaalide vastastikune energia on null, on sellised signaalid üksteise suhtes ortogonaalsed. Seos energiaspektrite ja signaalide korrelatsioonifunktsioonide vahel näitab signaalide vastasmõju teist poolt. Kui signaalide spektrid ei kattu ja nende vastastikune energiaspekter on kõigil sagedustel null, siis mis tahes aja nihke korral on nende CCF samuti null. See tähendab, et sellised signaalid ei ole korrelatsioonis. See kehtib nii deterministlike kui ka juhuslike signaalide ja protsesside puhul. Korrelatsioonifunktsioonide arvutamine FFT abil on, eriti pikkade arvuridade puhul, meetod, mis on kümneid ja sadu kordi kiirem kui järjestikused nihked ajapiirkonnas suurte korrelatsiooniintervallidega. Meetodi olemus tuleneb valemistest (6.3.2) ACF ja (6.3.6) VCF jaoks. Arvestades, et ACF-i võib pidada sama signaali CCF-i erijuhuks, käsitleme arvutusprotsessi, kasutades signaalide x() ja y() CCF-i näidet valimite arvuga K. See sisaldab: 1. Signaalide x() X () ja y() Y() FFT spektrite arvutamine. Erineva arvu proovide korral on lühem rida polsterdatud nullidega, mis vastavad suurema rea ​​suurusele. 2. Võimsustiheduse spektrite arvutamine W xy () = X*() Y(). 3. Pöördväärtus FFT W xy () B xy (). Märgime meetodi mõningaid omadusi. Teatavasti arvutatakse pöördväärtusega FFT-ga funktsioonide x() 3 y() tsükliline konvolutsioon. Kui funktsiooni näidiste arv on võrdne K-ga, võrdub funktsioonide spektrite kompleksnäidiste arv samuti K-ga, samuti nende korrutise W xy () valimite arv. Seega on pöördväärtusega FFT-ga valimite arv B xy () samuti võrdne K-ga ja seda korratakse tsükliliselt perioodiga, mis on võrdne K-ga. Samal ajal toimub täielike signaalimassiivide lineaarkonvolutsioon vastavalt valemile (6.2.5) ainult ühe poole VCF-i suurus on K punkti ja kahepoolne täielik suurus on 2K punkti. Järelikult rakendatakse pöördväärtusega FFT-ga, võttes arvesse konvolutsiooni tsüklilisust, selle kõrvalperioodid CCF-i põhiperioodi peale, nagu kahe funktsiooni tavapärase tsüklilise konvolutsiooni korral. Joonisel on näide kahest signaalist ja joonise B1 lineaarkonvolutsiooni väärtused, B2 FFT ilma signaale nullidega pikendamata, B3 FFT koos nullidega signaalide pikendamisega. CCF-id, mis arvutatakse lineaarse konvolutsiooni (B1xy) ja tsüklilise konvolutsiooni abil FFT kaudu (B2xy). Kõrvalperioodide kattumise mõju kõrvaldamiseks on vaja signaale täiendada nullidega, piirmääras kuni proovide arvu kahekordistamiseni, samal ajal kui FFT tulemus (B3xy graafik joonisel 6.3.5) kordab täielikult lineaarse tulemuse. konvolutsioon (võttes arvesse normaliseerimist proovide arvu suurendamiseks). Praktikas sõltub signaalilaiendi nullide arv korrelatsioonifunktsiooni olemusest. Minimaalne nullide arv võetakse tavaliselt võrdseks funktsioonide olulise infoosaga, s.t. järjekorras (3-5) korrelatsiooniintervallid.

12 12 lk. KIRJANDUS 1. Baskakov S.I. Raadiotehnika vooluringid ja signaalid Õpik ülikoolidele. - M. Kõrgkool, Otnes R., Enokson L. Aegridade rakendusanalüüs. M.: Mir, lk. 25. Sergienko A.B. Digitaalne signaalitöötlus. / Õpik ülikoolidele. SPb.: Peeter, lk. 33. Ayficher E., Jervis B. Digitaalne signaalitöötlus. Praktiline lähenemine. / M., "Williams", 2004, 992 Autori koduleht ~ Loengud ~ Töötuba Märkatud kirjavigadest, vigadest ja täiendusettepanekutest: Autoriõigus 2008 Davydov A.V.

5. osa SPEKTRAALTIEDUSFUNKTSIOONI MÄÄRAMISE MEETODID Spektritiheduse funktsioone saab määrata kolmel erineval ekvivalentsel viisil, mida arutatakse järgmistes osades: kasutades

6. loeng PERIOODILISE MITTESINUSIDAALSE VOOLU KONTROLLID Plaan Fourier' seeria Fourier' jada trigonomeetriline kuju komplekssel kujul Kompleksne sagedusspekter 3 Võimsused mittesinusoidsetes vooluahelates Koefitsiendid,

3 SISSEJUHATUS Inseneriprobleemides käsitletavaid füüsilisi protsesse kirjeldatakse enamikul juhtudel aja funktsioonide kaudu, mida nimetatakse protsessirakendusteks. On füüsilised nähtused, tulevane käitumine

43 Loeng 4 PERIOODILISE MITTESINUSOIDAALSE VOOLU RINGID Fourier' rea trigonomeetriline vorm Fourier' seeria kompleksvorm 3 Perioodilisi mittesinusoidseid funktsioone iseloomustavad koefitsiendid 4 Järeldus

Peterburi Riiklik Elektrotehnikaülikool "LETI" Raadiotehnika teoreetiliste aluste osakond DIGITAALSIGNAALIDE TÖÖTLEMINE Teema 1 Diskreetsed signaalid A. B. Sergienko, 216 Diskreetne

7. Mõned põhisüsteemid alates l Diskreetse aja süsteemides on olulisel kohal lõplikel intervallidel defineeritud diskreetsed signaalid. Sellised signaalid on ruumis -dimensioonilised vektorid

43 Loeng 6 PERIOODILISE MITTESINUSIDAALSE VOOLU RINGID Fourier' rea trigonomeetriline vorm Fourier' rea kompleksvorm 3 Perioodilisi mittesinusoidseid funktsioone iseloomustavad koefitsiendid 4 Järeldus

SISUKORD FOURIER SERIA 4 Perioodilise funktsiooni kontseptsioon 4 Trigonomeetriline polünoom 6 3 Funktsioonide ortogonaalsed süsteemid 4 Trigonomeetrilised Fourier' seeriad 3 5 Fourier' jada paaris- ja paaritute funktsioonide jaoks 6 6 Laiendus

3 Loeng 4 PERIOODILISE MITTESINUSOIDAALSE VOOLU RINGID Plaan Fourier' rea trigonomeetriline vorm Fourier' rea kompleksvorm 3 Perioodilisi mittesinusoidseid funktsioone iseloomustavad koefitsiendid 4 Järeldused

Loeng 4.9. Juhuslike suuruste süsteemid. Kahe juhusliku muutuja süsteemi (SDSV) jaotusfunktsioon. Funktsiooni omadused 6.4. Juhuslike muutujate süsteemid Praktikas puutume sageli kokku probleemidega, mida kirjeldatakse

õppeaasta sügissemester Teema 3 MITTEPERIOOODILISTE SIGNAALIDE HARMOONILINE ANALÜÜS Fourier otse- ja pöördteisendused Signaali spektraalkarakteristikud Amplituud-sagedus- ja faasisagedusspektrid

Laboratoorsed tööd 4 PERIOODILISTE MITTESINUSOIDAALSETE VÕNKUMINETE SPEKTRAALKOOSTISE UURING 4 Fourier' rea trigonomeetriline vorm Kui perioodiline mittesinusoidne funktsioon vastab Dirichlet' tingimustele,

Loeng Arvurida Konvergentsi märgid Arvurida Konvergentsi märgid Numbrijada + + + + lõpmatut avaldist, mis koosneb lõpmatu ühe terminitest, nimetatakse arvuseeriaks Numbrid,

Loengu teema: signaalid. Signaalide määratlus ja klassifikatsioon Raadioseadmetes esinevad spetsiifilised elektriprotsessid. Selle eripära mõistmiseks peaksite kõigepealt

Www.vntr.ru 6 (34), www.ntgcom.com UDC 57.443+57.8 SPEKTRAALLEKE MÕJU KÕRBISTATUD HARMOONILISE SIGNAALI AUTOKORRELATSIOONI FUNKTSIOONI KÄITUMISELE G.S. Hanyani keskne lennundusinstituut

Teema 3 MITTEPEROODILISTE SIGNAALIDE HARMOONILINE ANALÜÜS Fourier otse- ja pöördteisendused Signaali spektrikarakteristikud Amplituud-sagedus- ja faasisagedusspektrid Spektri karakteristikud

54 Loeng 5 FOURIER' TEISENDAMINE JA SPEKTRAALMEETOD ELEKTRIAÜHUSTE ANALÜÜSIKS Plaan Aperioodiliste funktsioonide ja Fourier' teisenduse spektrid Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektraalmeetod

4.4. Lihtsamate vibratsioonide spektraalanalüüs. Ristkülikukujuline impulss / / d, / s, / sin sin Ühe impulsi spektraalne tihedus langeb kokku perioodilise jada spektrijoonte mähisjoonega

1. Deterministlike signaalide põhiomadused Tehnoloogias tähendab termin “signaal” suurust, mis mingil moel peegeldab füüsilise süsteemi olekut. Raadiotehnikas nimetatakse signaaliks

Loeng 8 33 ÜHEDIMENSIOONILISED STATSSIONAARSED SÜSTEEMID FOURIER TRANSFORMI RAKENDAMINE 33 Signaalide ja süsteemide kirjeldus Signaalide kirjeldus Deterministlike signaalide kirjeldamiseks kasutatakse Fourier' teisendust: it

Juhuslike jadade spektraalanalüüs DFT meetodil Juhuslike signaalide spektraalmõõtmisel on põhieesmärgiks võimsusspektri tiheduse (PSD) määramine (lisa, punkt 4).

Kursuse “Digitaalse signaalitöötluse matemaatilised meetodid” metoodiliste materjalide näited CD-piletite ja RGR võimaluste kohta Vahekontroll 1 1. Lagundada vektor (,1, 1 vektoriteks 1) (1,2,1), (,2,3 ) 1,

MOSKVA RIIKLIK TSIVIILLENNULU TEHNIKAÜLIKOOL A.N. DENISENKO, V.N. ISAKOV METOODILISED JUHISED laboratoorsete tööde tegemiseks personaalarvutiga erialal “ELEKTRIAÜLUSTE TEOORIA”

54 Loeng 5 FOURIER TEISENDAMINE JA SPEKTRAALMEETOD ELEKTRIAHELADE ANALÜÜSIKS Plaan Aperioodiliste funktsioonide ja Fourier' teisenduse spektrid 2 Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektraalmeetod

Loeng ISELOOMULIKU FUNKTSIOON LOENGU EESMÄRK: konstrueerida meetod juhuslike suuruste funktsioonide lineariseerimiseks; tutvustada kompleksse juhusliku suuruse mõistet ja saada selle arvkarakteristikud; määrata omadus

Fourier' teisendus optikas Matemaatikas on tõestatud, et teatud nõuetele vastavat perioodilist funktsiooni () perioodiga T saab esitada Fourier' jadaga: a a cos n b sn n, kus / n, a

4. Mitteharmooniliste mõjude all olevate vooluringide analüüs. Peaaegu iga tõelise vibratsiooni saab lagundada harmooniliste vibratsioonide kogumiks. Superpositsiooni põhimõtte kohaselt on iga harmoonilise toime

FSBEI HPE "Omski Riiklik Tehnikaülikool" II OSA PIDEVAD LINEAARSED AUTOMAATJUHTIMISSÜSTEEMID Loeng 4. DÜNAAMILISED LINGID. ÜLDMÕISTED, AJA OMADUSED JA SAGEDUS

Skalaarsed hüperjuhuslikud muutujad 4 I OSA TEOORIA ALUSED PEATÜKK HÜPERJUHUSLIKUD SÜNDMUSED JA KOGUSED Tutvustatakse hüperjuhusliku sündmuse ja hüperjuhusliku muutuja mõisteid. Välja on pakutud mitmeid omadusi ja parameetreid

Ülesanne 1. Määrame algandmed: Laiendusintervall on võrdne [-τ/2;τ/2]. Spektrikoefitsientide arv n=5. Signaali amplituud: Sisendsignaal: Joon. 1. Signaali ajagraafik. 1 1. Kirjutame valemid

43 5. loeng FOURIER' TEISENDAMINE JA SPEKTRAALMEETOD ELEKTRIAÜHUSTE ANALÜÜSI ANALÜÜSIKS Plaan Aperioodiliste funktsioonide ja Fourier' teisenduse spektrid Fourier' teisenduse mõned omadused 3 Spektraalmeetod

3.4. PROGNOOSMUDELIDE NÄIDISVÄÄRTUSTE STATISTILISED KARAKTERISTIKAD Seni oleme käsitlenud statsionaarsete protsesside prognoosimudelite koostamise meetodeid, arvestamata üht väga olulist tunnust.

LOENG Sõnumid, signaalid, häired kui juhuslikud nähtused Juhuslikud muutujad, vektorid ja protsessid 4 SIGNAALID JA HÄIRED RTS-S KUI JUHUSLIKUD NÄHTUSED Nagu eespool märgitud, on RTS-i teooria põhiprobleemiks.

Fourier' teisendus optikas Matemaatikas on tõestatud, et iga perioodilist funktsiooni () perioodiga T saab esitada Fourier' jadaga: a a cos b s kus / a cos d b s d / / a ja b on Fourier' rea koefitsiendid.

Signaalide spektraalne esitus Ph.D., dotsent Moskva Riiklik Ülikool Arvutusmatemaatika-matemaatikateaduskond Prognoosimise matemaatiliste meetodite osakond Signaalide spektraalne esitus Loeng 4 Moskva,

Statistiline radiofüüsika ja informatsiooniteooria Loeng 1. 14. Sobitatud filtri süntees. Vaatleme lineaarset süsteemi, mille sisend on varustatud kasuliku signaali s t ja müra n t aditiivse seguga: t =

Loeng 5. 8.3. ISEVÕNKUMISTE ANALÜÜS HARMOONILISE LINEARISEERIMISE MEETODIL 8.3.. Ülesande püstitus Vaadeldakse ühe mittelineaarse elemendiga suletud süsteemi. F W s x Joon. Vaba liikumist uuritakse

Peatükk 4. Diskreetne Fourier' teisendus 4. Diskreetne Fourier' jada (DTFS) Perioodilise signaali korral perioodiga xt () sisaldab Fourier' jada üldjuhul lõpmatut arvu liikmeid: kus on koefitsiendid

Loeng KAHE JUHUSLIKU MUUTUJALISE SÜSTEEMI ARVULISED KARAKTERISTIKUD -DIMENSIONAALNE JUHUSLIKU VEKTOR LOENGU EESMÄRK: määrata kahest juhuslikust suurusest koosneva süsteemi arvkarakteristikud: alg- ja keskmomentide kovariatsioon.

Digitaalne signaalitöötlus; loeng 7. märts 07 MIPT Z-teisendus on üks matemaatilisi meetodeid, mis on välja töötatud spetsiaalselt diskreetsete ja digitaalsete süsteemide analüüsiks ja kujundamiseks 45 Lineaarne

Laboratoorsed tööd 7 Digitaalne spektraalanalüüs: periodogrammi ja korrelogrammi meetodid Töö eesmärk: uurida tarkvara realiseerimise meetodeid digitaalspektri klassikaliste versioonide süsteemis MATLAB

5 UDC 656.5, 6.39.8 A. V. VOLYNSKAYA DISKREETSIGNAALI MUUNDAMISE OMADUSED DIGITAALTEABE EDASTUSKANALIDES Näidatakse, et diskreetsete signaaliväärtuste suvalise valikuga (näiteks

Aknafunktsioonide konstrueerimine (jätkub punktist 4) Aknafunktsiooni valik on oluline uuritava signaali parameetrite hinnangute saamiseks fluktuatsioonimüra olemasolul. Signaalide tuvastamisel suurte

4. osa JUHUSLIKUTE PROTSESSIDE SPEKTRAALDEKOMPOSITSIOONID 41 FOURIER STIELTJESI INTEGRAALID Juhuslike funktsioonide spektraallaiendamiseks kasutatakse Stieltjesi integraali Seetõttu esitame definitsiooni ja mõned omadused.

Loeng 11 Pidevate teadete vastuvõtmine. Mürakindluse kriteeriumid Üldjuhul kujutab teade mingit pidevat protsessi bt, mida võib käsitleda kui üldise juhusliku teostuse

JUHUSLIKUTE NÄHTUSTE STATISTILISED MUDELID Juhuslikud muutujad Juhuslike suuruste tõenäosusjaotusfunktsioonid Füüsikalise katse lihtsaim mudel sõltumatute katsete jada (testid

LOENG. Komplekssignaali amplituudi hindamine. Signaali viivitusaja hindamine. Juhusliku faasiga signaali sageduse hindamine. Juhusliku faasiga signaali viiteaja ja sageduse ühishinnang.

3 Juhuslikud protsessid automaatjuhtimissüsteemides 3 Sissejuhatus Süsteeme, milles signaale iseloomustavad juhuslikud funktsioonid ja protsessid, nimetatakse juhuslike signaalidega süsteemideks või stohhastilisteks.

8. peatükk Funktsioonid ja graafikud Muutujad ja nendevahelised sõltuvused. Kahte suurust nimetatakse otse proportsionaalseks, kui nende suhe on konstantne, st kui =, kus on konstantne arv, mis muutustega ei muutu

Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus Volga piirkonna riikliku telekommunikatsiooni- ja informaatikaülikooli SARS-i osakond Ülesannete ja metoodika

Loeng 10. Schrödingeri algoritm statsionaarsete olekute terminite ja orbitaalide määramiseks 1 Statsionaarsed olekud Kui süsteemi olek ajas ei muutu ja teostatakse kogusumma konstantsel väärtusel

METOODILISED JUHEND DISTSIPLIINI „JUHUSLIKUD PROTSESSID RAADIOTEHNIKAS” ÕPPIMISEKS RÜHMA VDBV-6-14 ÕPILASELE Viited 1. Raadiotehnika seadmete ja süsteemide statistiline analüüs ja süntees:

Teema 8 LINEAARSED DISKREETSED SÜSTEEMID Diskreetsüsteemi kontseptsioon Meetodid lineaarsete diskreetsüsteemide kirjeldamiseks: diferentsiaalvõrrand, ülekandefunktsioon, impulssreaktsioon, sageduse ülekandefunktsioon

6. loeng (lk 358-36) Diskreetne Fourier' teisendus (DFT) Otsene Z-teisendus Fourier' päri- ja pöörddiskreetse teisenduse definitsioon Vaatleme Fourier' teisenduse arvutamise algoritmi

Variant 8 Leia funktsiooni definitsioonipiirkond: y sin Selle funktsiooni määratluspiirkond määratakse kahe võrratusega: ja sin Teisest võrratusest järeldub, et ebavõrdsus k π k+ peab olema täidetud

Spektraalanalüüs ja süntees Digitaalne heli ja video Loeng 2 2 Fourier analüüs ja süntees Keerulise perioodilise signaali lagundamist lihtsateks harmoonilisteks komponentideks nimetatakse Fourier analüüsiks või

Signaalid ja lineaarsüsteemid. Signaalide korrelatsioon

Teema 6. Signaalide korrelatsioon

Äärmuslik hirm ja äärmine julguse tuli ärritavad mao ja põhjustavad kõhulahtisust.

Michel Montaigne. Prantsuse jurist-mõtleja, 16. sajand.

See on number! Need kaks funktsiooni on 100% korrelatsioonis kolmandaga ja on üksteise suhtes ortogonaalsed. Noh, Kõigevägevamal oli maailma loomise ajal nalja.

Anatoli Põšmintsev. Uurali koolkonna Novosibirski geofüüsik, 20. sajand.

1. Signaalide autokorrelatsiooni funktsioonid. Autokorrelatsioonifunktsioonide (ACF) mõiste. Ajaliselt piiratud signaalide ACF. Perioodiliste signaalide ACF. Autokovariansi funktsioonid (ACF). Diskreetsete signaalide ACF. Mürarikaste signaalide ACF. Koodisignaalide ACF.

2. Signaalide ristkorrelatsioonifunktsioonid (CCF). Ristkorrelatsioonifunktsioon (CCF). Müraliste signaalide ristkorrelatsioon. Diskreetsete signaalide CCF Perioodiliste signaalide hindamine müras. Vastastikuse korrelatsioonikordaja funktsioon.

3. Korrelatsioonifunktsioonide spektraaltihedused. ACF spektraalne tihedus. Signaali korrelatsiooni intervall. VKF spektri tihedus. Korrelatsioonifunktsioonide arvutamine FFT abil.

Sissejuhatus

Korrelatsioon ja selle erijuht tsentreeritud signaalide puhul – kovariatsioon – on signaali analüüsi meetod. Esitame ühe meetodi kasutamise võimaluse. Oletame, et on olemas signaal s(t), mis võib (või ei pruugi) sisaldada mingit lõpliku pikkusega T jada x(t), mille ajaline asukoht meid huvitab. Selle jada otsimiseks ajaaknas pikkusega T, mis libiseb mööda signaali s(t), arvutatakse signaalide s(t) ja x(t) skalaarkorrutised. Seega “kandame” soovitud signaali x(t) signaalile s(t), libisedes mööda selle argumenti ja skalaarkorrutise väärtuse järgi hindame signaalide sarnasuse astet võrdluspunktides.

Korrelatsioonianalüüs võimaldab tuvastada signaalides (või signaalide jadades) teatud seose olemasolu signaali väärtuste muutuste vahel sõltumatul muutujal, st kui ühe signaali suured väärtused (suhteline) signaali keskmiste väärtustega) seostatakse teise signaali suurte väärtustega (positiivne korrelatsioon) või vastupidi, ühe signaali väikesed väärtused on seotud teise signaali suurte väärtustega (negatiivne korrelatsioon) või kaks signaali ei ole kuidagi seotud (nullkorrelatsioon).

Signaalide funktsionaalruumis saab seda seoseastet väljendada korrelatsioonikordaja normaliseeritud ühikutes, s.o. signaalivektorite vahelise nurga koosinuses ja võtab vastavalt väärtused vahemikus 1 (signaalide täielik kokkulangevus) kuni -1 (täielik vastand) ega sõltu mõõtühikute väärtusest (skaalast). .

Autokorrelatsiooni versioonis kasutatakse sarnast tehnikat signaali s(t) skalaarkorrutise määramiseks oma koopiaga, mis libiseb mööda argumenti. Autokorrelatsioon võimaldab hinnata praeguste signaalinäidiste keskmist statistilist sõltuvust nende eelmistest ja järgnevatest väärtustest (signaali väärtuste nn korrelatsiooniraadius), samuti tuvastada perioodiliselt korduvate elementide olemasolu signaalis.

Korrelatsioonimeetodid on eriti olulised juhuslike protsesside analüüsimisel, et tuvastada mittejuhuslikke komponente ja hinnata nende protsesside mittejuhuslikke parameetreid.

Pange tähele, et mõistete "korrelatsioon" ja "kovarians" osas on segadust. Matemaatikakirjanduses kasutatakse terminit "kovariatsioon" tsentreeritud funktsioonide kohta ja "korrelatsioon" suvaliste funktsioonide kohta. Tehnilises kirjanduses ja eriti signaale ja nende töötlemise meetodeid käsitlevas kirjanduses kasutatakse sageli täpselt vastupidist terminoloogiat. See ei oma põhimõttelist tähtsust, kuid kirjandusallikatega tutvudes tasub tähelepanu pöörata nende terminite aktsepteeritud eesmärgile.

Signaali korrelatsioonifunktsioon on ajutine omadus

annab aimu signaali muutumise kiirusest ajas, samuti signaali kestusest ilma seda harmoonilisteks komponentideks lagundamata.

On olemas autokorrelatsiooni ja ristkorrelatsiooni funktsioonid. Deterministliku signaali f(t) puhul on autokorrelatsioonifunktsioon antud

kus on signaali aja nihke suurus.

iseloomustab signaali f (t) seotuse (korrelatsiooni) astet sellega

koopia nihutatud summa võrra piki ajatelge. Koostame ristkülikukujulise impulsi f (t) jaoks autokorrelatsioonifunktsiooni (ACF). Signaal nihutatakse esikülje poole, nagu on näidatud joonisel fig. 6.25.

Graafikul on igal väärtusel funktsiooni graafiku all oma korrutis ja pindala. Numbriline

selliste alade väärtused vastava τ jaoks annavad funktsiooni ordinaadid

Kui τ suureneb, siis see väheneb (mitte tingimata monotoonselt) ja koos

See tähendab, et suurem kui signaali kestus on null.

on ka perioodiline funktsioon perioodiga T.

Vaatleme autokorrelatsioonifunktsiooni peamisi omadusi:

1. ACF on paarisfunktsioon, st funktsioon väheneb, kui see suureneb.

2. ACF saavutab maksimumi juures , kuna iga signaal on iseendaga täielikult korrelatsioonis. Sel juhul on ACF-i maksimaalne väärtus võrdne energiaga

Mida laiem on signaali spekter, seda väiksem on korrelatsioonivahemik, s.t. nihke suurus, mille piires korrelatsioonifunktsioon erineb nullist. Seega, mida suurem on signaali korrelatsiooni intervall, seda kitsam on selle spekter.

Korrelatsioonifunktsiooni saab kasutada ka kahe erineva aja järgi nihutatud signaali f 1 (t) ja f 2 (t) vahelise seose määra hindamiseks.

Sel juhul nimetatakse seda ristkorrelatsioonifunktsiooniks (MCF) ja see on määratletud avaldisega:

Ristkorrelatsioonifunktsioon ei pruugi olla τ suhtes ühtlane ega saavuta tingimata maksimumi juures. CCF-i konstruktsioon kahe kolmnurkse signaali f 1 (t) ja f 2 (t) jaoks on näidatud joonisel fig. 6.26. Käiguvahetusel

signaal f 2 (t) vasakule (t > 0, joon. 6.26, a) signaali korrelatsioonifunktsioon esmalt suureneb, seejärel kahaneb nullini at. Kui signaal f 2 (t) nihkub paremale (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 T t

0 t -T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9. Moduleeritud signaalide mõiste. Amplituudmodulatsioon

Kõrgsageduslikke signaale kasutatakse teabe edastamiseks vahemaa tagant. Edastatav informatsioon peab ühel või teisel viisil olema põimitud kõrgsageduslikusse võnkumisse, mida nimetatakse kandelaineks. Cha valik

Kandesignaali väärtus ω sõltub paljudest teguritest, kuid igal juhul ω

peab olema palju suurem kui edastatava sõnumi spektri kõrgeim sagedus, st.

Sõltuvalt kandja olemusest eristatakse kahte tüüpi modulatsiooni:

– pidev – harmoonilise kandjaga ajas pidev;

– impulss - kui kandja on perioodilise impulsside jada kujul.

Infot kandvat signaali saab esitada kujul

Kui ja on konstantsed väärtused, siis see on lihtne harmooniline võnkumine, mis ei kanna teavet. Kui neid sõnumi edastamiseks sunniviisiliselt muudetakse, muutub võnkumine moduleerituks.

Kui A (t) muutub, on see amplituudmodulatsioon, kui nurk on nurk. Nurkmodulatsioon jaguneb kahte tüüpi: sagedus (FM) ja faas (PM).

Alates , siis ja on aeglaselt muutuvad aja funktsioonid. Siis võime eeldada, et mis tahes tüüpi modulatsiooni puhul on signaali parameetrid

(1) (amplituud, faas ja sagedus) muutuvad nii aeglaselt, et ühe perioodi jooksul võib kõrgsageduslikku võnkumist pidada harmooniliseks. See eeldus on signaalide omaduste ja nende spektrite aluseks.

Amplituudmodulatsioon (AM). AM-iga muutub kandesignaali amplituudi mähisjoon vastavalt seadusele, mis langeb kokku edastatava sõnumi, sageduse muutumise seadusegaei muutu, ja algfaasisvõib varieeruda olenevalt modulatsiooni alguse hetkest. Üldavaldise (6.22) saab asendada

Amplituudmoduleeritud signaali graafiline esitus on näidatud. 6.27. Siin on S (t) edastatav pidev sõnum, kandja harmoonilise kõrgsagedussignaali amplituud. Ümbrik A (t) muutub vastavalt seadusele, mis sõnumit taasesitab

S(t).

Korrelatsiooni mõiste tähendab sarnasust. Signaali korrelatsioonifunktsioon on funktsioon ja selle annab

kus τ on signaali ajaline nihe.

Kui avaldis (2.65) võtab kuju

kus E on signaali energia. Seega on null aja nihke korral korrelatsioonifunktsioon võrdne signaali energiaga.

Lisaks korrelatsioonifunktsioonile (2.65) on olemas ka vastastikuse korrelatsiooni funktsioon, mis iseloomustab kahe signaali väärtuste omavahelist seost ja määratakse avaldisega:

Kui U1(t) ja U2(t) on sama signaal U(t), siis on ristkorrelatsiooni- ja korrelatsioonifunktsioonid samad.

Korrelatsioonifunktsioon võtab oma maksimaalse väärtuse ainult . Kahe identse signaali ristkorrelatsioonifunktsioon saavutab samuti maksimumi . Erinevate signaalide U1(t) ja U2(t) puhul ei pruugi funktsiooni maksimaalne väärtus ulatuda . Näiteks koosinuslaine ristkorrelatsiooni funktsioonil on maksimaalne väärtus .

Vaatleme tüüpiliste signaalide korrelatsioonifunktsioone.

Ruutlaine videosignaal ja selle korrelatsioonifunktsioon on näidatud joonisel fig. 2.24.

Perioodilise videosignaali korrelatsioonifunktsioon perioodiga T põhineb (2.66) järgmisel kujul:

(2.67)

Harmoonilise signaali korrelatsioonifunktsioon on võrdne:

Signaal ja selle korrelatsioonifunktsioon on näidatud joonisel 2.25.

Riis. 2.25. Harmooniline signaal (a) ja selle korrelatsioonifunktsioon (b).

Kahe sama sagedusega harmoonilise signaali ristkorrelatsioonifunktsioon on järgmine:

(2.69)

Kui ja , siis ristkorrelatsioonifunktsioon (2.68) on võrdne harmoonilise signaali korrelatsioonifunktsiooniga (2.69).

Kahe erineva sagedusega harmoonilise signaali ristkorrelatsioonifunktsioon on null. Järelikult on erineva sagedusega harmoonilised signaalid üksteisega korrelatsioonita (ei ole sarnased).

Raadiotehnika arendamise algfaasis ei olnud teatud konkreetsete rakenduste jaoks parimate signaalide valimise küsimus eriti aktuaalne. See oli ühelt poolt tingitud edastatavate teadete suhteliselt lihtsast ülesehitusest (telegraafipakid, raadiosaadete edastamine); teisalt osutus keerulise kujuga signaalide praktiline rakendamine koos nende kodeerimise, moduleerimise ja sõnumiks tagurpidi muundamise seadmetega raskesti teostatavaks.

Praeguseks on olukord kardinaalselt muutunud. Kaasaegsetes raadioelektroonilistes süsteemides ei määra signaalide valikut eelkõige nende genereerimise, muundamise ja vastuvõtmise tehniline mugavus, vaid süsteemi konstruktsioonis ette nähtud probleemide optimaalse lahendamise võimalus. Et mõista, kuidas tekib vajadus spetsiaalselt valitud omadustega signaalide järele, vaadake järgmist näidet.

Ajanihke signaalide võrdlus.

Vaatame laulu kauguse mõõtmiseks mõeldud impulssradari töö lihtsustatud ideed. Siin sisaldub informatsioon mõõteobjekti kohta väärtuses – sondeerimise ja vastuvõetud signaalide vaheline viivitus. Uurimis- ja vastuvõetud signaalide kuju on mis tahes viivituse korral sama.

Vahemaa mõõtmiseks mõeldud radari signaalitöötlusseadme plokkskeem võib välja näha selline, nagu on näidatud joonisel fig. 3.3.

Süsteem koosneb elementide komplektist, mis viivitavad edastatud „referentsi” signaali teatud kindla aja jooksul

Riis. 3.3. Seade signaali viivitusaja mõõtmiseks

Viivitatud signaalid koos vastuvõetud signaaliga suunatakse võrdlusseadmetesse, mis töötavad põhimõttel: väljundsignaal ilmub ainult siis, kui mõlemad sisendvõnked on üksteise “koopiad”. Teades kanali numbrit, milles määratud sündmus aset leiab, saate mõõta viivitust ja seega ka vahemikku sihtmärgini.

Selline seade töötab täpsemalt, seda rohkem signaal ja selle ajas nihutatud "koopia" erinevad üksteisest.

Nii oleme saanud kvalitatiivse "idee", milliseid signaale võib antud rakenduse puhul pidada "headeks".

Liigume edasi püstitatud ülesande täpse matemaatilise sõnastuse juurde ja näitame, et see küsimuste ring on otseselt seotud signaalide energiaspektrite teooriaga.

Signaali autokorrelatsiooni funktsioon.

Signaali ja selle ajaliselt nihutatud koopia vahelise erinevuse määra kvantifitseerimiseks on tavaks kasutusele võtta signaali autokorrelatsioonifunktsioon (ACF), mis on võrdne signaali ja koopia skalaarkorrutisega:

Järgnevalt eeldame, et uuritaval signaalil on ajas lokaliseeritud impulssmärk, nii et vormi (3.15) integraal on kindlasti olemas.

Kohe on selge, et kui autokorrelatsioonifunktsioon võrdub signaali energiaga:

ACF-i kõige lihtsamate omaduste hulgas on selle paarsus:

Tõepoolest, kui me muudame muutujaid integraalis (3.15), siis

Lõpuks on autokorrelatsioonifunktsiooni oluline omadus järgmine: mis tahes aja nihke väärtuse korral ei ületa ACF-moodul signaali energiat:

See asjaolu tuleneb otseselt Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsusest (vt 1. peatükk):

Niisiis, ACF on kujutatud sümmeetrilise kõveraga, mille keskne maksimum on alati positiivne. Veelgi enam, olenevalt signaali tüübist võib autokorrelatsioonifunktsioonil olla kas monotoonselt kahanev või võnkuv iseloom.

Näide 3.3. Leidke ristkülikukujulise videoimpulsi ACF.

Joonisel fig. 3.4a näitab ristkülikukujulist videoimpulssi amplituudi ja kestusega U. Siin näidatakse ka selle “koopiat”, mis on ajas nihutatud võrra viivituse suunas. Integraal (3.15) arvutatakse sel juhul lihtsalt graafilise konstruktsiooni alusel. Tõepoolest, korrutis ja ja on nullist erinev ainult ajavahemikus, mil täheldatakse signaali kattumist. Jooniselt fig. 3.4, on selge, et see ajavahemik on võrdne, kui nihe ei ületa impulsi kestust. Seega vaadeldava signaali jaoks

Sellise funktsiooni graafik on joonisel fig. 3.4, b. Kolmnurga aluse laius on kaks korda suurem kui impulsi kestus.

Riis. 3.4. Ristkülikukujulise videoimpulsi ACF-i leidmine

Näide 3.4. Leidke ristkülikukujulise raadioimpulsi ACF.

Vaatleme vormi raadiosignaali

Teades ette, et ACF on paaris, arvutame integraali (3.15), seade . Kus

kuhu me kergesti jõuame

Loomulikult, kui väärtus võrdub selle impulsi energiaga (vt näide 1.9). Valem (3.21) kirjeldab ristkülikukujulise raadioimpulsi ACF-i kõigi nihete piires. Kui nihke absoluutväärtus ületab impulsi kestuse, siis autokorrelatsioonifunktsioon kaob samamoodi.

Näide 3.5. Määrake ristkülikukujuliste videoimpulsside jada ACF.

Radaris kasutatakse laialdaselt signaale, mis on ühesuguse kujuga impulsside paketid, mis järgnevad üksteisele sama ajaintervalliga. Sellise purske tuvastamiseks, aga ka selle parameetrite, näiteks asukoha ajas mõõtmiseks, luuakse seadmed, mis rakendavad ACF-i arvutamiseks riistvaraalgoritme.

Riis. 3.5. Kolme identse videoimpulsi paketi ACF: a - impulsside pakett; b - ACF-i graafik

Joonisel fig. 3.5c näitab paketti, mis koosneb kolmest identsest ristkülikukujulisest videoimpulsist. Siin on toodud ka selle autokorrelatsioonifunktsioon, mis on arvutatud valemi (3.15) abil (joonis 3.5, b).

On selgelt näha, et maksimaalne ACF saavutatakse kell Kui aga viivitus on järjestusperioodi kordne (meie puhul kell), täheldatakse ACF külgsagaraid, mis on kõrguselt võrreldavad põhisagaraga. Seetõttu võime rääkida selle signaali korrelatsioonistruktuuri teatud ebatäiuslikkusest.

Lõpmatult pikendatud signaali autokorrelatsioonifunktsioon.

Kui on vaja arvestada ajaliselt piiramatu kestusega perioodilisi jadasid, siis tuleb signaalide korrelatsiooniomaduste uurimise lähenemist mõnevõrra modifitseerida.

Eeldame, et selline jada saadakse mingist ajaliselt lokaliseeritud, st impulsssignaalist, kui viimase kestus kipub lõpmatuseni. Saadud avaldiste lahknemise vältimiseks määratleme ioonse ACF signaali ja selle koopia skalaarkorrutise keskmise väärtusena:

Selle lähenemisviisi korral muutub autokorrelatsiooni funktsioon võrdseks nende kahe signaali keskmise vastastikuse võimsusega.

Näiteks kui soovite leida ajaliselt piiramatu koosinuslaine ACF-i, võite kasutada kestusega raadioimpulsi jaoks saadud valemit (3.21) ja seejärel minna definitsiooni (3.22) arvesse võttes piirini. Selle tulemusena saame

See ACF ise on perioodiline funktsioon; selle väärtus at on võrdne

Seos signaali energiaspektri ja selle autokorrelatsioonifunktsiooni vahel.

Selle peatüki materjali uurides võib lugeja arvata, et korrelatsioonianalüüsi meetodid toimivad teatud eritehnikatena, millel puudub seos spektraallagundamise põhimõtetega. Siiski ei ole. On lihtne näidata, et ACF-i ja signaali energiaspektri vahel on tihe seos.

Tõepoolest, valemi (3.15) kohaselt on ACF skalaarkorrutis: siin tähistab sümbol signaali ajaliselt nihutatud koopiat ja ,

Pöördudes üldistatud Rayleighi valemi (2.42) poole, saame kirjutada võrdsuse

Ajaliselt nihutatud signaali spektri tihedus

Seega jõuame tulemuseni:

Spektraalse tiheduse mooduli ruut, nagu on teada, esindab signaali energiaspektrit. Seega on energiaspekter ja autokorrelatsioonifunktsioon seotud Fourier' teisendusega:

On selge, et on olemas ka pöördvõrdeline seos:

Need tulemused on põhimõtteliselt olulised kahel põhjusel. Esiteks selgub, et signaalide korrelatsiooniomadusi on võimalik hinnata nende energia jaotuse põhjal spektris. Mida laiem on signaali sagedusriba, seda kitsam on autokorrelatsioonifunktsiooni põhisagara ja seda täiuslikum on signaal selle alguse hetke täpse mõõtmise võimaluse osas.

Teiseks näitavad valemid (3.24) ja (3.26) energiaspektri katselise määramise viisi. Sageli on mugavam esmalt hankida autokorrelatsiooni funktsioon ja seejärel Fourier' teisenduse abil leida signaali energiaspekter. See tehnika on muutunud laialt levinud, kui uuritakse signaalide omadusi kiirete arvutite abil reaalajas.

Seos sovtk Sellest järeldub, et korrelatsioonivahemik

osutub väiksemaks, mida kõrgem on signaali spektri ülemine piirsagedus.

Piirangud, mis on kehtestatud signaali autokorrelatsiooni funktsiooni vormile.

Leitud seos autokorrelatsioonifunktsiooni ja energiaspektri vahel võimaldab paika panna huvitava ja esmapilgul mitteilmse kriteeriumi antud korrelatsiooniomadustega signaali olemasoluks. Fakt on see, et iga signaali energiaspekter peab definitsiooni järgi olema positiivne [vt. valem (3.25)]. See tingimus ei ole täidetud ühegi ACF-i valiku puhul. Näiteks kui me võtame

ja arvutage seejärel vastav Fourier' teisendus

See vahelduv funktsioon ei saa esindada ühegi signaali energiaspektrit.