Sammumaatriks. Maatriksi auaste. Maatriksite tüübid. Maatriksi astmeline vaade. Maatriksi taandamine astme- ja kolmnurkvormiks Vektorite lineaarse sõltuvuse kriteerium

Definitsioon

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal, kui kõik selle põhidiagonaalist väljaspool asuvad elemendid on võrdsed nulliga.

Kommenteeri. Maatriksi diagonaalelemendid (st põhidiagonaalil olevad elemendid) võivad olla ka nullid.

Näide

Definitsioon

Skalaar nimetatakse diagonaalmaatriksiks, milles kõik diagonaalelemendid on üksteisega võrdsed.

Kommenteeri. Kui nullmaatriks on ruut, siis on see ka skalaar.

Näide

Definitsioon

Identiteedi maatriks on järjestust skalaarmaatriks, mille diagonaalelemendid on võrdsed 1-ga.

Kommenteeri. Märke lühendamiseks võib identiteedimaatriksi järjekorra ära jätta, siis tähistatakse identiteedimaatriksit lihtsalt tähega .

Näide

on teist järku identiteedimaatriks.

2.10. Maatriksi redutseerimine diagonaalkujule

Tavaline (eriti sümmeetriline) maatriks A saab viia diagonaalsesse vormi sarnasuse teisendusega -

A = TΛT −1

Siin Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) on diagonaalmaatriks, mille elemendid on maatriksi omaväärtused A, A T on maatriks, mis koosneb maatriksi vastavatest omavektoritest A, st. T = (v 1 ,...,v N).

Näiteks,

Riis. 23 Redutseerimine diagonaalile

Sammumaatriks

Definitsioon

Astus on maatriks, mis vastab järgmistele tingimustele:

Definitsioon

Astus nimetatakse maatriksiks, mis sisaldab ridu ja milles esimesed diagonaalielemendid on nullist erinevad ning põhidiagonaalist allpool olevad elemendid ja viimaste ridade elemendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et see on maatriks kujul:

Definitsioon

Peamine element nimetatakse maatriksi rea esimest nullist erinevat elementi.

Näide

Harjutus. Leidke maatriksi iga rea ​​põhielemendid

Lahendus. Esimese rea põhielement on selle rea esimene nullist erinev element ja seega ka rea ​​number 1 põhielement; sarnaselt - teise rea põhielement.

Teine astmemaatriksi määratlus.

Definitsioon

Maatriksit nimetatakse astus, Kui:

kõik selle nulliread tulevad nullist erinevate ridade järel;

igal nullist erineval real, alates teisest, asub selle põhielement eelmise rea põhielemendist paremal (suurema numbriga veerus).

Definitsiooni järgi sisaldavad astmemaatriksid nii nullmaatriksit kui ka maatriksit, mis sisaldab ühte rida.

Näide

Sammumaatriksite näited:

, , , ,

Näited maatriksitest, mis ei ole ešelonid:

, ,

Näide

Harjutus. Uurige, kas maatriks on olemas astus.

Lahendus. Tingimuste täitmist kontrollime definitsioonist:

Niisiis, antud maatriks on astmeline.

Maatriks, maatriksitüübid, maatriksite tehted.

Maatriksite tüübid:

1. Ristkülikukujuline: m Ja n- suvalised positiivsed täisarvud

2. Ruut: m = n

3. Maatriksi rida: m = 1. Näiteks (1 3 5 7) - paljudes praktilistes ülesannetes nimetatakse sellist maatriksit vektoriks

4. Maatriksi veerg: n = 1. Näiteks

5. Diagonaalmaatriks: m = n Ja a ij =0, Kui i≠j. Näiteks

6. Identiteedi maatriks: m = n Ja

7. Nullmaatriks: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Kolmnurkne maatriks: kõik põhidiagonaali all olevad elemendid on 0.

9. Sümmeetriline maatriks:m = n Ja a ij =a ji(st võrdsed elemendid asuvad põhidiagonaali suhtes sümmeetrilistes kohtades) ja seetõttu A"=A

Näiteks,

10. Kaldus-sümmeetriline maatriks: m = n Ja a ij =-a ji(st vastassuunalised elemendid asuvad põhidiagonaali suhtes sümmeetrilistes kohtades). Järelikult on põhidiagonaalil nullid (millest ajast i=j meil on a ii =-a ii)

Toimingud maatriksitel:

1. Lisand

2. Lahutamine maatriksid – elemendipõhine operatsioon

3. Töö maatriksid arvu järgi – elemendipõhine tehe

4. Korrutamine A*B maatriksid vastavalt reeglile rida veergu(maatriksi A veergude arv peab võrduma maatriksi B ridade arvuga)

A mk *B kn =C mn ja iga element koos ij-ga maatriksid Cmn võrdub maatriksi A i-nda rea ​​elementide korrutistega maatriksi B j-nda veeru vastavate elementide võrra, s.o.

Demonstreerime maatrikskorrutamise toimimist näite abil

5. Maatriksi A transponeerimine. Transponeeritud maatriksit tähistatakse tähega A T või A"

,Näiteks

Ridad ja veerud on vahetatud

Maatriksite tehte omadused:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Teist ja kolmandat järku determinandid (põhimõisted, omadused, arvutused)

Vara 1. Determinant ei muutu transponeerimise käigus, s.t.

Tõestus.

Kommenteeri. Järgmised determinantide omadused formuleeritakse ainult stringide jaoks. Lisaks tuleneb atribuudist 1, et veergudel on samad omadused.

Vara 2. Determinandi rea elementide korrutamisel teatud arvuga korrutatakse kogu determinant selle arvuga, s.o.

.

Tõestus.

Vara 3. Nullstringiga determinant on võrdne 0-ga.

Selle omaduse tõestus tuleneb omadusest 2, kui k = 0.

Vara 4. Kahe võrdse stringiga determinant on 0.

Tõestus.

Vara 5. Determinant, mille kaks rida on võrdelised, on 0.

Tõestus tuleneb omadustest 2 ja 4.

Vara 6. Kahe determinandi rea ümberpaigutamisel korrutatakse see –1-ga.

Tõestus.

Vara 7.

Saate seda omadust ise tõestada, võrreldes definitsiooni 1.5 abil leitud võrdsuse vasaku ja parema külje väärtusi.

Vara 8. Determinandi väärtus ei muutu, kui ühe rea elementidele lisatakse teise rea vastavad elemendid, korrutades sama arvuga.

Alaealine. Algebraline liitmine. Laplace'i teoreem.

Kolmnurkseks taandamise meetod seisneb antud determinandi sellises teisenduses, kui kõik selle diagonaali ühel küljel asuvad elemendid on võrdsed nulliga.

Näide 8. Arvuta determinant

Taandamine kolmnurkseks vormiks.

Lahendus. Lahutame determinandi esimese rea ülejäänud ridadest. Siis saame

.

See determinant on võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega. Nii on meil

Kommenteeri. Kõike eespool käsitletut saab üldistada n-ndat järku determinantide jaoks.

Maatriksi redutseerimine astmelisele kujule. Ridade ja veergude elementaarsed teisendused.

Elementaarmaatriksiteisendused nimetatakse järgmisi teisendusi:

I. Maatriksi kahe veeru (rea) permutatsioon.

II. Maatriksi ühe veeru (rea) kõigi elementide korrutamine sama arvuga, mis ei ole null.

III. Lisades ühe veeru (rea) elementidele teise veeru (rea) vastavad elemendid, korrutatuna sama arvuga.

Nimetatakse maatriksit, mis on saadud esialgsest maatriksist lõpliku arvu elementaarteisendustega samaväärne . Seda näitab .

Maatriksite lihtsustamiseks kasutatakse elementaarseid teisendusi, mida edaspidi kasutatakse erinevate ülesannete lahendamisel.

Maatriksi viimiseks astmelisele kujule (joonis 1.4) tuleb sooritada järgmised sammud.

1. Valige esimeses veerus mõni muu element kui null ( juhtiv element ). Juhtelemendiga string ( juhtiv rida ), kui see pole esimene, korraldage see ümber esimese rea asemel (I tüüpi teisendus). Kui esimeses veerus pole juhtelementi (kõik elemendid on nullid), siis jätame selle veeru välja ja jätkame juhtelemendi otsimist ülejäänud maatriksist. Teisendus lõpeb, kui kõik veerud on elimineeritud või maatriksi ülejäänud osas on kõik nullelemendid.

2. Jagage juhtrea kõik elemendid juhtelemendiga (II tüüpi teisendus). Kui juhtrida on viimane, peaks teisendus sellega lõppema.

3. Igale eesmise all olevale reale lisage juhtrida, korrutatuna vastavalt sellise arvuga, et eesmise all olevad elemendid on võrdsed nulliga (III tüüpi teisendus).

4. Olles jätnud kaalumisest välja rea ​​ja veeru, mille ristumiskohas on juhtiv element, minge 1. sammu juurde, kus kõik kirjeldatud toimingud rakendatakse ülejäänud maatriksile.

Näide 1.29. Taandada astmelise maatriksi vormiks

Maatriksi viimiseks astmelisele kujule (joonis 1.4) tuleb sooritada järgmised sammud.

1. Valige esimeses veerus mõni muu element kui null ( juhtiv element ). Juhtelemendiga string ( juhtiv rida ), kui see pole esimene, korraldage see ümber esimese rea asemel (I tüüpi teisendus). Kui esimeses veerus pole juhtelementi (kõik elemendid on nullid), siis jätame selle veeru välja ja jätkame juhtelemendi otsimist ülejäänud maatriksist. Teisendus lõpeb, kui kõik veerud on elimineeritud või maatriksi ülejäänud osas on kõik nullelemendid.

2. Jagage juhtrea kõik elemendid juhtelemendiga (II tüüpi teisendus). Kui juhtrida on viimane, peaks teisendus sellega lõppema.

3. Igale eesmise all olevale reale lisage juhtrida, korrutatuna vastavalt sellise arvuga, et eesmise all olevad elemendid on võrdsed nulliga (III tüüpi teisendus).

4. Olles jätnud kaalumisest välja rea ​​ja veeru, mille ristumiskohas on juhtiv element, minge 1. sammu juurde, kus kõik kirjeldatud toimingud rakendatakse ülejäänud maatriksile.

Teoreem rea jaotuse kohta rea ​​elementide järgi.

Teoreem determinandi jaotamise kohta rea ​​või veeru elementideks võimaldab meil determinandi arvutamist vähendada - th order() järjemäärajate arvutamiseks .

Kui determinandil on nulliga võrdsed elemendid, on determinandi kõige mugavam laiendada rea ​​või veeru elementideks, mis sisaldavad kõige rohkem nulle.

Determinantide omadusi kasutades saate determinandi teisendada - järjestada nii, et teatud rea või veeru kõik elemendid, välja arvatud üks, oleksid võrdsed nulliga. Seega determinandi arvutamine - järgu väärtus, kui see erineb nullist, taandatakse ühe determinandi arvutamiseks - järjekorras.

Ülesanne 3.1. Arvuta determinant

Lahendus. Lisades esimese rea teisele reale, esimese rea korrutamisel 2-ga kolmandale reale ja esimese rea korrutamisel -5-ga neljandale reale, saame

Laiendades determinandi esimese veeru elementideks, saame

.

Saadud 3. järku determinandis nullisime kõik esimese veeru elemendid, välja arvatud esimene. Selleks liidame teisele reale esimese, korrutatuna (-1), kolmandale, korrutatuna 5-ga, lisame esimese, korrutatuna 8-ga. Kuna me korrutasime kolmanda rea ​​5-ga, siis (nii et determinant ei muutu) korrutage see arvuga. Meil on

Jagame saadud determinandi esimese veeru elementideks:

Laplace'i teoreem(1). Teoreem tulnukate lisandumise kohta (2)

1) Determinant on võrdne mis tahes rea elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.

2) Determinandi mis tahes rea elementide korrutised selle teise rea vastavate elementide algebraliste täienditega on võrdne nulliga (teoreem korrutamise kohta teiste algebraliste täienditega).

Iga tasandi punkt valitud koordinaatsüsteemiga määratakse selle koordinaatide paariga (α, β); numbreid α ja β võib mõista ka raadiusvektori koordinaatidena, mille lõpp on selles punktis. Samamoodi määrab kolmik (α, β, γ) ruumis punkti või vektori koordinaatidega α, β, γ. Sellel põhineb kahe või kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemide geomeetriline tõlgendamine, mis on lugejale hästi teada. Seega kahe tundmatuga kahe lineaarvõrrandi süsteemi puhul

a 1 x + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2

iga võrrandit tõlgendatakse tasapinna sirgjoonena (vt joonis 26) ja lahendust (α, β) tõlgendatakse nende sirgete lõikepunktina või vektorina koordinaatidega ap (joonis vastab juhul, kui süsteemil on ainulaadne lahendus).

Riis. 26

Sama saate teha kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemiga, tõlgendades iga võrrandit ruumilise tasandi võrrandina.

Matemaatikas ja selle erinevates rakendustes (eriti kodeerimise teoorias) tuleb tegeleda lineaarvõrrandisüsteemidega, mis sisaldavad rohkem kui kolme tundmatut. Lineaarvõrrandisüsteem n tundmatuga x 1, x 2, ..., x n on võrrandite kogum kujul

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

kus a ij ja b i on suvalised reaalarvud. Võrrandite arv süsteemis võib olla ükskõik milline ega ole kuidagi seotud tundmatute arvuga. Tundmatute koefitsiendid a ij on kahekordse numeratsiooniga: esimene indeks i näitab võrrandi arvu, teine ​​indeks j - tundmatu arv, mille juures see koefitsient on. Süsteemi iga lahendust mõistetakse tundmatute (tegelike) väärtuste (α 1, α 2, ..., α n) kogumina, mis muudab iga võrrandi tõeliseks võrdsuseks.

Kuigi süsteemi (1) otsene geomeetriline tõlgendus n > 3 korral ei ole enam võimalik, on täiesti võimalik ja mitmes mõttes mugav laiendada kahe- või kolmemõõtmelise ruumi geomeetrilist keelt suvalise n korral. Täiendavad määratlused teenivad seda eesmärki.

Igasugust järjestatud hulka n reaalarvust (α 1, α 2, ..., α n) nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks ja arvud ise α 1, α 2, ..., α n on arvude koordinaadid. see vektor.

Vektorite tähistamiseks kasutatakse reeglina paksu kirja ja vektori a puhul koordinaatidega α 1, α 2, ..., α n jäetakse tavaline märgistusvorm:

a = (α 1, α 2, ..., α n).

Analoogiliselt tavalise tasandiga nimetatakse kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulka, mis rahuldavad n tundmatuga lineaarvõrrandit, n-mõõtmelise ruumi hüpertasandiks. Selle definitsiooni kohaselt pole süsteemi (1) kõigi lahenduste hulk midagi muud kui mitme hüpertasandi ristumiskoht.

N-mõõtmeliste vektorite liitmine ja korrutamine määratakse samade reeglitega nagu tavavektorite puhul. Nimelt kui

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Kaks n-mõõtmelist vektorit, siis nende summat nimetatakse vektoriks

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Vektori a ja arvu λ korrutis on vektor

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite kogumit vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise operatsioonidega nimetatakse aritmeetiliseks n-mõõtmeliseks vektorruumiks L n.

Sissejutatud tehteid kasutades võib vaadelda mitme vektori suvalisi lineaarseid kombinatsioone, st vormi avaldisi

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

kus λ i on reaalarvud. Näiteks vektorite (2) lineaarne kombinatsioon koefitsientidega λ ja μ on vektor

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Kolmemõõtmelises vektorruumis mängib erilist rolli vektorite i, j, k (koordinaatühikute vektorid) kolmik, milleks mis tahes vektor a laguneb:

a = xi + yj + zk,

kus x, y, z on reaalarvud (vektori a koordinaadid).

N-mõõtmelisel juhul mängib sama rolli järgmine vektorite süsteem:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Iga vektor a on ilmselgelt vektorite e 1, e 2, ..., e n lineaarne kombinatsioon:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

ja koefitsiendid α 1, α 2, ..., α n langevad kokku vektori a koordinaatidega.

Tähistades 0-ga vektorit, mille kõik koordinaadid on võrdsed nulliga (lühidalt, nullvektor), tutvustame järgmist olulist määratlust:

Vektorite süsteemi a 1, a 2, ... ja k nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui on olemas nullvektoriga võrdne lineaarne kombinatsioon

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

milles vähemalt üks koefitsientidest h 1, λ 2, ..., λ k erineb nullist. Vastasel juhul nimetatakse süsteemi lineaarselt sõltumatuks.

Niisiis, vektorid

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) ja 3 = (2, 2, 2, 2)

on lineaarselt sõltuvad, sest

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineaarne sõltuvus, nagu definitsioonist nähtub, on samaväärne (kui k ≥ 2) tõsiasjaga, et vähemalt üks süsteemi vektoritest on teiste lineaarne kombinatsioon.

Kui süsteem koosneb kahest vektorist a 1 ja a 2, siis süsteemi lineaarne sõltuvus tähendab, et üks vektor on teisega võrdeline, ütleme, a 1 = λa 2; kolmemõõtmelisel juhul on see samaväärne vektorite a 1 ja a 2 kollineaarsusega. Samamoodi tähendab kolme vektori süsteemi I lineaarne sõltuvus tavaruumis, et need vektorid on tasapinnalised. Lineaarse sõltuvuse mõiste on seega loomulik üldistus mõistetest kollineaarsus ja samatasandilisus.

Lihtne on kontrollida, et süsteemist (5) pärinevad vektorid e 1, e 2, ..., e n on lineaarselt sõltumatud. Järelikult on n-mõõtmelises ruumis n lineaarselt sõltumatut vektorit. Võib näidata, et iga suurema arvu vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Iga süsteemi a 1 , a 2 , ..., a n n-st lineaarselt sõltumatust vektorist n-mõõtmelise ruumi L n nimetatakse selle baasiks.

Ruumi L n mis tahes vektor a jaotatakse ainulaadsel viisil suvalise aluse a 1, a 2, ..., a n vektoriteks:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

See asjaolu on aluse määratluse põhjal kergesti tuvastatav.

Jätkates analoogiat kolmemõõtmelise ruumiga, on n-mõõtmelisel juhul võimalik määrata vektorite skalaarkorrutis a b, seades

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Selle definitsiooniga säilivad kõik kolmemõõtmeliste vektorite skalaarkorrutise põhiomadused. Vektoreid a ja b nimetatakse ortogonaalseteks, kui nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Lineaarsete koodide teooria kasutab teist olulist mõistet – alamruumi mõistet. Ruumi L n alamhulka V nimetatakse selle ruumi alamruumiks if

1) mis tahes V-sse kuuluvate vektorite a, b korral kuulub ka nende summa a + b V-sse;

2) iga V-sse kuuluva vektori a ja iga reaalarvu λ korral kuulub ka vektor λa V-sse.

Näiteks süsteemi (5) kõigi vektorite e 1, e 2 lineaarsete kombinatsioonide hulk on ruumi L n alamruum.

Lineaaralgebras on tõestatud, et igas alamruumis V on nii lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem a 1, a 2, ..., a k, et iga alamruumi vektor a on nende vektorite lineaarne kombinatsioon:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Näidatud vektorite süsteemi nimetatakse alamruumi V aluseks.

Ruumi ja alamruumi definitsioonist järeldub kohe, et ruum L n on vektori liitmise operatsiooni suhtes kommutatiivne rühm ja mis tahes selle alamruum V on selle rühma alamrühm. Selles mõttes võib vaadelda näiteks ruumi L n kosette alamruumi V suhtes.

Kokkuvõtteks rõhutame, et kui n-mõõtmelise aritmeetilise ruumi teoorias vaadeldakse reaalarvude (st reaalarvude välja elementide) asemel suvalise välja F elemente, siis kõik antud definitsioonid ja faktid. ülaltoodud jääks kehtima.

Kodeerimise teoorias on oluline roll juhul, kui väli F on jääkide väli Z p , mis teatavasti on lõplik. Sel juhul on ka vastav n-mõõtmeline ruum lõplik ja sisaldab, nagu hästi näha, p n elementi.

Ruumi mõiste, nagu ka rühma ja rõnga mõisted, võimaldab samuti aksiomaatilist määratlust. Üksikasjade saamiseks viitame Feederile mis tahes lineaaralgebra kursusele.

Lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltuvad ja sõltumatud vektorsüsteemid.

vektorite lineaarne kombinatsioon

Lineaarne vektorite kombinatsioon nimetatakse vektoriks

Kus - lineaarsed kombinatsiooni koefitsiendid. Kui kombinatsiooni peetakse triviaalseks, kui see pole triviaalne.

Lineaarne sõltuvus ja vektori sõltumatus

Süsteem lineaarselt sõltuv

Süsteem lineaarselt sõltumatu

Vektorite lineaarse sõltuvuse kriteerium

Selleks, et vektorid (r > 1) olid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et vähemalt üks neist vektoritest on teiste lineaarne kombinatsioon.

Lineaarruumi mõõtmed

Lineaarne ruum V helistas n-dimensionaalne (on mõõde n), kui see sisaldab:

1) on olemas n lineaarselt sõltumatud vektorid;

2) mis tahes süsteem n+1 vektorid on lineaarselt sõltuvad.

Nimetused: n= hämar V;.

Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on olemas nullist erinev arvude hulk, nii et lineaarne kombinatsioon

Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltumatu, kui lineaarse kombinatsiooni võrdsusest nullini

võrdub nulliga kõik koefitsiendid

Vektorite lineaarse sõltuvuse küsimus taandub üldjuhul küsimusele nullist erineva lahenduse olemasolu kohta homogeense lineaarvõrrandisüsteemi jaoks, mille koefitsiendid on võrdsed nende vektorite vastavate koordinaatidega.

Vektorisüsteemi "lineaarse sõltuvuse" ja "lineaarse sõltumatuse" mõistete põhjalikuks mõistmiseks on kasulik lahendada järgmist tüüpi ülesandeid:

Lineaarsus.I ja II lineaarsuse kriteeriumid.

Vektorsüsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui süsteemi üks vektor on selle süsteemi ülejäänud vektorite lineaarne kombinatsioon.

Tõestus. Olgu vektorite süsteem lineaarselt sõltuv. Siis on selline koefitsientide kogum , see , ja vähemalt üks koefitsient erineb nullist. Teeskleme seda. Siis

see tähendab, et see on süsteemi ülejäänud vektorite lineaarne kombinatsioon.

Olgu üks süsteemi vektoritest ülejäänud vektorite lineaarne kombinatsioon. Oletame, et see on vektor, see tähendab . On ilmne, et. Leidsime, et süsteemivektorite lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga ja üks koefitsientidest erineb nullist (võrdne ).

Pakkumine10 . 7 Kui vektorite süsteem sisaldab lineaarselt sõltuvat alamsüsteemi, siis on kogu süsteem lineaarselt sõltuv.

Tõestus.

Olgu alamsüsteem vektorite süsteemis , , on lineaarselt sõltuv, st , ja vähemalt üks koefitsient erineb nullist. Seejärel teeme lineaarse kombinatsiooni. On ilmne, et see lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga ja koefitsientide hulgas on nullist erinev üks.

Vektorsüsteemi alus on põhivõimsus.

Nullist erineva vektorite süsteemi alus on selle ekvivalentne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem. Nullsüsteemil pole alust.

Atribuut 1: Lineaarse sõltumatu süsteemi alus langeb kokku iseendaga.

Näide: Lineaarselt sõltumatute vektorite süsteem, kuna ühtki vektorit ei saa teiste kaudu lineaarselt väljendada.

Atribuut 2: (põhikriteerium) Antud süsteemi lineaarselt sõltumatu alamsüsteem on selle aluseks siis ja ainult siis, kui ta on maksimaalselt lineaarselt sõltumatu.

Tõestus: Arvestades süsteemi Vajadus Laske alus. Siis, definitsiooni järgi, ja kui , kus , on süsteem lineaarselt sõltuv, kuna see on lineaarselt degenereerunud läbi ja on seetõttu maksimaalselt lineaarselt sõltumatu. Adekvaatsus Olgu alamsüsteem maksimaalselt lineaarselt sõltumatu, siis kus . lineaarselt sõltuv lineaarselt degenereerub läbi seega süsteemi aluse.

Atribuut 3: (baasi põhivara) Iga süsteemi vektorit saab aluse kaudu väljendada ainulaadsel viisil.

Tõestus Olgu vektor aluse kaudu degenereerunud kahel viisil, siis: , siis

Vektorsüsteemi järk.

Vektorite süsteemi järgu leidmiseks peate kasutama Gaussi meetodit, et taandada süsteem kolmnurkseks või trapetsikujuliseks.

Samaväärsed vektorsüsteemid.

Näide:

Teisendame vektorandmed aluse leidmiseks maatriksiks. Saame:

Nüüd, kasutades Gaussi meetodit, teisendame maatriksi trapetsikujuliseks:

1) Meie põhimaatriksis tühistame kogu esimese veeru, välja arvatud esimene rida, teisest lahutame esimese korrutisega , kolmandast lahutame esimese korrutisega ja neljandast ei lahuta midagi kuna neljanda rea ​​esimene element, st esimese veeru ja neljanda rea ​​ristumiskoht on võrdne nulliga. Saame maatriksi: 2) Nüüd maatriksis vahetame lahenduse hõlbustamiseks read 2, 3 ja 4, nii et elemendi asemele jääb üks. Muudame neljanda rea ​​teise asemel, teise kolmanda asemel ja kolmanda neljanda asemel. Saame maatriksi: 3) Maatriksis tühistame kõik elemendi all olevad elemendid. Kuna meie maatriksi element on jällegi võrdne nulliga, ei lahuta me neljandast reast midagi, vaid kolmandale liidame teise, korrutatuna . Saame maatriksi: 4) Vahetame maatriksis read 3 ja 4 uuesti. Saame maatriksi: 5) Maatriksis lisage neljandale reale kolmas rida, korrutatuna 5-ga. Saame maatriksi, millel on kolmnurkne kuju:

Süsteemid, nende auastmed langevad auastme omaduste tõttu kokku ja nende auaste on võrdne auastmega

Märkused: 1) Erinevalt traditsioonilisest Gaussi meetodist, kui maatriksirea kõik elemendid on jagatud teatud arvuga, ei ole meil maatriksi omaduste tõttu õigust maatriksirida vähendada. Kui tahame rida teatud arvu võrra vähendada, peame selle arvu võrra vähendama kogu maatriksit. 2) Kui saame lineaarselt sõltuva rea, saame selle maatriksist eemaldada ja asendada nullreaga. Näide: Näete kohe, et teine ​​rida väljendub läbi esimese, kui korrutada esimene 2-ga. Sel juhul saame kogu teise rea asendada nulliga. Saame: Selle tulemusel, kui maatriks on viidud kolmnurksele või trapetsikujulisele kujule, kus sellel ei ole lineaarselt sõltuvaid vektoreid, on kõik maatriksi nullist erinevad vektorid maatriksi aluseks ja nende arv on auaste.

Siin on ka näide vektorite süsteemist graafiku kujul: Antud süsteem, kus , , ja . Selle süsteemi aluseks on ilmselt vektorid ja , kuna vektoreid väljendatakse nende kaudu. See süsteem graafilisel kujul näeb välja järgmine:

Elementaarne taasloomine. Sammu tüüpi süsteemid.

Elementaarmaatriksiteisendused- need on maatriksiteisendused, mille tulemuseks on maatriksi ekvivalentsuse säilimine. Seega ei muuda elementaarteisendused selle maatriksi esindatava lineaarse algebralise võrrandi süsteemi lahenduste hulka.

Elementaarseid teisendusi kasutatakse Gaussi meetodis maatriksi taandamiseks kolmnurkseks või astmeliseks vormiks.

Elementaarsed stringide teisendused nimetatakse:

Mõnel lineaaralgebra kursusel ei eristata maatriksiridade permutatsiooni kui eraldi elementaarteisendust, kuna mis tahes kahe maatriksirea permutatsiooni saab saada, korrutades mis tahes maatriksirea konstandiga ja lisades mis tahes maatriksireale veel ühe rea korrutatuna. konstandiga , .

Sarnaselt määratletud elementaarveeru teisendused.

Elementaarsed teisendused pööratav.

Tähistus näitab, et maatriksi saab saada elementaarteisendustega (või vastupidi).

Maatriksi viimiseks astmelisele kujule (joonis 1.4) tuleb sooritada järgmised sammud.

1. Valige esimeses veerus mõni muu element kui null ( juhtiv element ). Juhtelemendiga string ( juhtiv rida ), kui see pole esimene, korraldage see ümber esimese rea asemel (I tüüpi teisendus). Kui esimeses veerus pole juhtelementi (kõik elemendid on nullid), siis jätame selle veeru välja ja jätkame juhtelemendi otsimist ülejäänud maatriksist. Teisendus lõpeb, kui kõik veerud on elimineeritud või maatriksi ülejäänud osas on kõik nullelemendid.

2. Jagage juhtrea kõik elemendid juhtelemendiga (II tüüpi teisendus). Kui juhtrida on viimane, peaks teisendus sellega lõppema.

3. Igale eesmise all olevale reale lisage juhtrida, korrutatuna vastavalt sellise arvuga, et eesmise all olevad elemendid on võrdsed nulliga (III tüüpi teisendus).

4. Olles jätnud kaalumisest välja rea ​​ja veeru, mille ristumiskohas on juhtiv element, minge 1. sammu juurde, kus kõik kirjeldatud toimingud rakendatakse ülejäänud maatriksile.

Teoreem rea jaotuse kohta rea ​​elementide järgi.

Teoreem determinandi jaotamise kohta rea ​​või veeru elementideks võimaldab meil determinandi arvutamist vähendada - th order() järjemäärajate arvutamiseks .

Kui determinandil on nulliga võrdsed elemendid, on determinandi kõige mugavam laiendada rea ​​või veeru elementideks, mis sisaldavad kõige rohkem nulle.

Determinantide omadusi kasutades saate determinandi teisendada - järjestada nii, et teatud rea või veeru kõik elemendid, välja arvatud üks, oleksid võrdsed nulliga. Seega determinandi arvutamine - järgu väärtus, kui see erineb nullist, taandatakse ühe determinandi arvutamiseks - järjekorras.

Ülesanne 3.1. Arvuta determinant

Lahendus. Lisades esimese rea teisele reale, esimese rea korrutamisel 2-ga kolmandale reale ja esimese rea korrutamisel -5-ga neljandale reale, saame

Laiendades determinandi esimese veeru elementideks, saame

.

Saadud 3. järku determinandis nullisime kõik esimese veeru elemendid, välja arvatud esimene. Selleks liidame teisele reale esimese, korrutatuna (-1), kolmandale, korrutatuna 5-ga, lisame esimese, korrutatuna 8-ga. Kuna me korrutasime kolmanda rea ​​5-ga, siis (nii et determinant ei muutu) korrutage see arvuga. Meil on

Jagame saadud determinandi esimese veeru elementideks:

Laplace'i teoreem(1). Teoreem tulnukate lisandumise kohta (2)

1) Determinant on võrdne mis tahes rea elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.

2) Determinandi mis tahes rea elementide korrutised selle teise rea vastavate elementide algebraliste täienditega on võrdne nulliga (teoreem teiste algebraliste täienditega korrutamise kohta).

Iga tasandi punkt valitud koordinaatsüsteemiga määratakse selle koordinaatide paariga (α, β); numbreid α ja β võib mõista ka raadiusvektori koordinaatidena, mille lõpp on selles punktis. Samamoodi määrab kolmik (α, β, γ) ruumis punkti või vektori koordinaatidega α, β, γ. Sellel põhineb kahe või kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemide geomeetriline tõlgendamine, mis on lugejale hästi teada. Seega kahe tundmatuga kahe lineaarvõrrandi süsteemi puhul

a 1 x + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2

iga võrrandit tõlgendatakse tasapinna sirgjoonena (vt joonis 26) ja lahendust (α, β) tõlgendatakse nende sirgete lõikepunktina või vektorina koordinaatidega ap (joonis vastab juhul, kui süsteemil on ainulaadne lahendus).

Riis. 26

Sama saate teha kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemiga, tõlgendades iga võrrandit ruumilise tasandi võrrandina.

Matemaatikas ja selle erinevates rakendustes (eriti kodeerimise teoorias) tuleb tegeleda lineaarvõrrandisüsteemidega, mis sisaldavad rohkem kui kolme tundmatut. Lineaarvõrrandisüsteem n tundmatuga x 1, x 2, ..., x n on võrrandite kogum kujul

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

kus a ij ja b i on suvalised reaalarvud. Võrrandite arv süsteemis võib olla ükskõik milline ega ole kuidagi seotud tundmatute arvuga. Tundmatute koefitsiendid a ij on kahekordse numeratsiooniga: esimene indeks i näitab võrrandi arvu, teine ​​indeks j - tundmatu arv, mille juures see koefitsient on.

Süsteemi mis tahes lahendust mõistetakse tundmatute (tegelike) väärtuste kogumina (α 1 , α 2 , ..., α n ), muutes iga võrrandi tõeliseks võrdsuseks.

Kuigi süsteemi (1) otsene geomeetriline tõlgendus n > 3 korral ei ole enam võimalik, on täiesti võimalik ja mitmes mõttes mugav laiendada kahe- või kolmemõõtmelise ruumi geomeetrilist keelt suvalise n korral. Täiendavad määratlused teenivad seda eesmärki.

Iga n reaalarvu järjestatud hulk (α 1 , α 2 , ..., α n ) nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks ja numbreid ise α 1 , α 2 , ..., α n - selle vektori koordinaadid.

Vektorite tähistamiseks kasutatakse reeglina paksu kirja ja vektori a puhul koordinaatidega α 1, α 2, ..., α n jäetakse tavaline märgistusvorm:

a = (α 1, α 2, ..., α n).

Analoogiliselt tavalise tasandiga nimetatakse kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulka, mis rahuldavad n tundmatuga lineaarvõrrandit, n-mõõtmelise ruumi hüpertasandiks. Selle definitsiooni kohaselt pole süsteemi (1) kõigi lahenduste hulk midagi muud kui mitme hüpertasandi ristumiskoht.

N-mõõtmeliste vektorite liitmine ja korrutamine määratakse samade reeglitega nagu tavavektorite puhul. Nimelt kui

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Kaks n-mõõtmelist vektorit, siis nende summat nimetatakse vektoriks

α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)

Vektori a ja arvu λ korrutis on vektor

λa = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)

Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite kogumit vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise operatsioonidega nimetatakse aritmeetiliseks n-mõõtmeliseks vektorruumiks L n.

Sissejutatud tehteid kasutades võib vaadelda mitme vektori suvalisi lineaarseid kombinatsioone, st vormi avaldisi

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

kus λ i on reaalarvud. Näiteks vektorite (2) lineaarne kombinatsioon koefitsientidega λ ja μ on vektor

λa + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Kolmemõõtmelises vektorruumis mängib erilist rolli vektorite i, j, k (koordinaatühikute vektorid) kolmik, milleks mis tahes vektor a laguneb:

a = xi + yj + zk,

kus x, y, z on reaalarvud (vektori a koordinaadid).

N-mõõtmelisel juhul mängib sama rolli järgmine vektorite süsteem:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Iga vektor a on ilmselgelt vektorite e 1, e 2, ..., e n lineaarne kombinatsioon:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

ja koefitsiendid α 1, α 2, ..., α n langevad kokku vektori a koordinaatidega.

Tähistades 0-ga vektorit, mille kõik koordinaadid on võrdsed nulliga (lühidalt, nullvektor), tutvustame järgmist olulist määratlust:

Vektorite süsteemi a 1, a 2, ... ja k nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui on olemas nullvektoriga võrdne lineaarne kombinatsioon

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

milles vähemalt üks koefitsientidest h 1, λ 2, ..., λ k erineb nullist. Vastasel juhul nimetatakse süsteemi lineaarselt sõltumatuks.

Niisiis, vektorid

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) ja 3 = (2, 2, 2, 2)

on lineaarselt sõltuvad, sest

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineaarne sõltuvus, nagu definitsioonist nähtub, on samaväärne (kui k ≥ 2) tõsiasjaga, et vähemalt üks süsteemi vektoritest on teiste lineaarne kombinatsioon.

Kui süsteem koosneb kahest vektorist a 1 ja a 2, siis süsteemi lineaarne sõltuvus tähendab, et üks vektor on teisega võrdeline, ütleme, a 1 = λa 2; kolmemõõtmelisel juhul on see samaväärne vektorite a 1 ja a 2 kollineaarsusega. Samamoodi tähendab kolme vektori süsteemi I lineaarne sõltuvus tavaruumis, et need vektorid on tasapinnalised. Lineaarse sõltuvuse mõiste on seega loomulik üldistus mõistetest kollineaarsus ja samatasandilisus.

Lihtne on kontrollida, et süsteemist (5) pärinevad vektorid e 1, e 2, ..., e n on lineaarselt sõltumatud. Järelikult on n-mõõtmelises ruumis n lineaarselt sõltumatut vektorit. Võib näidata, et iga suurema arvu vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv.

Iga süsteemi a 1 , a 2 , ..., a n n-st lineaarselt sõltumatust vektorist n-mõõtmelise ruumi L n nimetatakse selle baasiks.

Ruumi L n mis tahes vektor a jaotatakse ainulaadsel viisil suvalise aluse a 1, a 2, ..., a n vektoriteks:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

See asjaolu on aluse määratluse põhjal kergesti tuvastatav.

Jätkates analoogiat kolmemõõtmelise ruumiga, on n-mõõtmelisel juhul võimalik määrata vektorite skalaarkorrutis a b, seades

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Selle definitsiooniga säilivad kõik kolmemõõtmeliste vektorite skalaarkorrutise põhiomadused. Vektoreid a ja b nimetatakse ortogonaalseteks, kui nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Lineaarsete koodide teooria kasutab teist olulist mõistet – alamruumi mõistet. Ruumi L n alamhulka V nimetatakse selle ruumi alamruumiks if

1) mis tahes V-sse kuuluvate vektorite a, b korral kuulub ka nende summa a + b V-sse;

2) iga V-sse kuuluva vektori a ja iga reaalarvu λ korral kuulub ka vektor λa V-sse.

Näiteks süsteemi (5) kõigi vektorite e 1, e 2 lineaarsete kombinatsioonide hulk on ruumi L n alamruum.

Lineaaralgebras on tõestatud, et igas alamruumis V on nii lineaarselt sõltumatu vektorite süsteem a 1, a 2, ..., a k, et iga alamruumi vektor a on nende vektorite lineaarne kombinatsioon:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Näidatud vektorite süsteemi nimetatakse alamruumi V aluseks.

Ruumi ja alamruumi definitsioonist järeldub kohe, et ruum L n on vektori liitmise operatsiooni suhtes kommutatiivne rühm ja mis tahes selle alamruum V on selle rühma alamrühm. Selles mõttes võib vaadelda näiteks ruumi L n kosette alamruumi V suhtes.

Kokkuvõtteks rõhutame, et kui n-mõõtmelise aritmeetilise ruumi teoorias vaadeldakse reaalarvude (st reaalarvude välja elementide) asemel suvalise välja F elemente, siis kõik antud definitsioonid ja faktid. ülaltoodud jääks kehtima.

Kodeerimise teoorias on oluline roll juhul, kui väli F on jääkide väli Z p , mis teatavasti on lõplik. Sel juhul on ka vastav n-mõõtmeline ruum lõplik ja sisaldab, nagu hästi näha, p n elementi.

Ruumi mõiste, nagu ka rühma ja rõnga mõisted, võimaldab samuti aksiomaatilist määratlust. Üksikasjade saamiseks viitame Feederile mis tahes lineaaralgebra kursusele.

Lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltuvad ja sõltumatud vektorsüsteemid.

vektorite lineaarne kombinatsioon

Lineaarne vektorite kombinatsioon nimetatakse vektoriks

Kus - lineaarsed kombinatsiooni koefitsiendid. Kui kombinatsiooni peetakse triviaalseks, kui see pole triviaalne.

Lineaarne sõltuvus ja vektori sõltumatus

Süsteem lineaarselt sõltuv

Süsteem lineaarselt sõltumatu

Vektorite lineaarse sõltuvuse kriteerium

Selleks, et vektorid (r > 1) olid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et vähemalt üks neist vektoritest on teiste lineaarne kombinatsioon.

Lineaarruumi mõõtmed

Lineaarne ruum V helistas n-dimensionaalne (on mõõde n), kui see sisaldab:

1) on olemas n lineaarselt sõltumatud vektorid;

2) mis tahes süsteem n+1 vektorid on lineaarselt sõltuvad.

Nimetused: n= hämar V;.

Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on olemas nullist erinev arvude hulk, nii et lineaarne kombinatsioon

Vektorsüsteemi nimetatakse lineaarselt sõltumatu, kui lineaarse kombinatsiooni võrdsusest nullini

võrdub nulliga kõik koefitsiendid

Vektorite lineaarse sõltuvuse küsimus taandub üldjuhul küsimusele nullist erineva lahenduse olemasolu kohta homogeense lineaarvõrrandisüsteemi jaoks, mille koefitsiendid on võrdsed nende vektorite vastavate koordinaatidega.

Vektorisüsteemi "lineaarse sõltuvuse" ja "lineaarse sõltumatuse" mõistete põhjalikuks mõistmiseks on kasulik lahendada järgmist tüüpi ülesandeid:

Lineaarsus.I ja II lineaarsuse kriteeriumid.

Vektorsüsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui süsteemi üks vektor on selle süsteemi ülejäänud vektorite lineaarne kombinatsioon.

Tõestus. Olgu vektorite süsteem lineaarselt sõltuv. Siis on selline koefitsientide kogum , see , ja vähemalt üks koefitsient erineb nullist. Teeskleme seda. Siis

see tähendab, et see on süsteemi ülejäänud vektorite lineaarne kombinatsioon.

Olgu üks süsteemi vektoritest ülejäänud vektorite lineaarne kombinatsioon. Oletame, et see on vektor, see tähendab . On ilmne, et. Leidsime, et süsteemivektorite lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga ja üks koefitsientidest erineb nullist (võrdne ).

Pakkumine10 . 7 Kui vektorite süsteem sisaldab lineaarselt sõltuvat alamsüsteemi, siis on kogu süsteem lineaarselt sõltuv.

Tõestus.

Olgu alamsüsteem vektorite süsteemis , , on lineaarselt sõltuv, st , ja vähemalt üks koefitsient erineb nullist. Seejärel teeme lineaarse kombinatsiooni. On ilmne, et see lineaarne kombinatsioon on võrdne nulliga ja koefitsientide hulgas on nullist erinev üks.

Vektorsüsteemi alus on põhivõimsus.

Nullist erineva vektorite süsteemi alus on selle ekvivalentne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem. Nullsüsteemil pole alust.

Atribuut 1: Lineaarse sõltumatu süsteemi alus langeb kokku iseendaga.

Näide: Lineaarselt sõltumatute vektorite süsteem, kuna ühtki vektorit ei saa teiste kaudu lineaarselt väljendada.

Atribuut 2: (põhikriteerium) Antud süsteemi lineaarselt sõltumatu alamsüsteem on selle aluseks siis ja ainult siis, kui ta on maksimaalselt lineaarselt sõltumatu.

Tõestus: Arvestades süsteemi Vajadus Laske alus. Siis, definitsiooni järgi, ja kui , kus , on süsteem lineaarselt sõltuv, kuna see on lineaarselt degenereerunud läbi ja on seetõttu maksimaalselt lineaarselt sõltumatu. Adekvaatsus Olgu alamsüsteem maksimaalselt lineaarselt sõltumatu, siis kus . lineaarselt sõltuv lineaarselt degenereerub läbi seega süsteemi aluse.

Atribuut 3: (baasi põhivara) Iga süsteemi vektorit saab aluse kaudu väljendada ainulaadsel viisil.

Tõestus Olgu vektor aluse kaudu degenereerunud kahel viisil, siis: , siis

Vektorsüsteemi järk.

Vektorite süsteemi järgu leidmiseks peate kasutama Gaussi meetodit, et taandada süsteem kolmnurkseks või trapetsikujuliseks.

Samaväärsed vektorsüsteemid.

Näide:

Teisendame vektorandmed aluse leidmiseks maatriksiks. Saame:

Nüüd, kasutades Gaussi meetodit, teisendame maatriksi trapetsikujuliseks:

1) Meie põhimaatriksis tühistame kogu esimese veeru, välja arvatud esimene rida, teisest lahutame esimese korrutisega , kolmandast lahutame esimese korrutisega ja neljandast ei lahuta midagi kuna neljanda rea ​​esimene element, st esimese veeru ja neljanda rea ​​ristumiskoht on võrdne nulliga. Saame maatriksi: 2) Nüüd maatriksis vahetame lahenduse hõlbustamiseks read 2, 3 ja 4, nii et elemendi asemele jääb üks. Muudame neljanda rea ​​teise asemel, teise kolmanda asemel ja kolmanda neljanda asemel. Saame maatriksi: 3) Maatriksis tühistame kõik elemendi all olevad elemendid. Kuna meie maatriksi element on jällegi võrdne nulliga, ei lahuta me neljandast reast midagi, vaid kolmandale liidame teise, korrutatuna . Saame maatriksi: 4) Vahetame maatriksis read 3 ja 4 uuesti. Saame maatriksi: 5) Maatriksis lisage neljandale reale kolmas rida, korrutatuna 5-ga. Saame maatriksi, millel on kolmnurkne kuju:

Süsteemid, nende auastmed langevad auastme omaduste tõttu kokku ja nende auaste on võrdne auastmega

Märkused: 1) Erinevalt traditsioonilisest Gaussi meetodist, kui maatriksirea kõik elemendid on jagatud teatud arvuga, ei ole meil maatriksi omaduste tõttu õigust maatriksirida vähendada. Kui tahame rida teatud arvu võrra vähendada, peame selle arvu võrra vähendama kogu maatriksit. 2) Kui saame lineaarselt sõltuva rea, saame selle maatriksist eemaldada ja asendada nullreaga. Näide: Näete kohe, et teine ​​rida väljendub läbi esimese, kui korrutada esimene 2-ga. Sel juhul saame kogu teise rea asendada nulliga. Saame: Selle tulemusel, kui maatriks on viidud kolmnurksele või trapetsikujulisele kujule, kus sellel ei ole lineaarselt sõltuvaid vektoreid, on kõik maatriksi nullist erinevad vektorid maatriksi aluseks ja nende arv on auaste.

Siin on ka näide vektorite süsteemist graafiku kujul: Antud süsteem, kus , , ja . Selle süsteemi aluseks on ilmselt vektorid ja , kuna vektoreid väljendatakse nende kaudu. See süsteem graafilisel kujul näeb välja järgmine:

Elementaarne taasloomine. Sammu tüüpi süsteemid.

Elementaarmaatriksiteisendused- need on maatriksiteisendused, mille tulemuseks on maatriksi ekvivalentsuse säilimine. Seega ei muuda elementaarteisendused selle maatriksi esindatava lineaarse algebralise võrrandi süsteemi lahenduste hulka.

Elementaarseid teisendusi kasutatakse Gaussi meetodis maatriksi taandamiseks kolmnurkseks või astmeliseks vormiks.

Elementaarsed stringide teisendused nimetatakse:

Mõnel lineaaralgebra kursusel ei eristata maatriksiridade permutatsiooni kui eraldi elementaarteisendust, kuna mis tahes kahe maatriksirea permutatsiooni saab saada, korrutades mis tahes maatriksirea konstandiga ja lisades mis tahes maatriksireale veel ühe rea korrutatuna. konstandiga , .

Sarnaselt määratletud elementaarveeru teisendused.

Elementaarsed teisendused pööratav.

Tähistus näitab, et maatriksi saab saada elementaarteisendustega (või vastupidi).

Definitsioon. Astus kutsume maatriksiks, millel on järgmised omadused:

1) kui i-s rida on null, siis on ka (I + 1)-s rida null,

2) kui i-nda ja (I + 1)-nda rea ​​esimesed nullist erinevad elemendid asuvad vastavalt veergudes numbritega k ja R, siis k< R.

Tingimus 2) nõuab i-ndalt realt (I + 1)-ndale reale liikumisel vasakul olevate nullide kohustuslikku suurendamist. Näiteks maatriksid

A 1 = , A 2 =
, A 3 =

on astmeline ja maatriksid

B 1 = , V 2 = , B3 =

ei ole astmelised.

Teoreem 5.1. Iga maatriksi saab taandada ešelonmaatriksiks, kasutades maatriksiridade elementaarseid teisendusi.

Illustreerime seda teoreemi näitega.

A=

Saadud maatriks on astmeline.

Definitsioon. Maatriksi auaste nimetame selle maatriksi astmelisel kujul nullist erineva ridade arvu.

Näiteks maatriksi A aste eelmises näites on 3.

6. loeng.

Determinandid ja nende omadused. Pöördmaatriks ja selle arvutamine.

Teist järku determinandid.

Vaatleme teist järku ruutmaatriksit

A =

Definitsioon. Teist järku determinant maatriksile A vastav arv on valemiga arvutatud arv

│A│= = .

Elemente a ij nimetatakse determinandi elemendid│A│, elemendid a 11 ja 22 moodustavad põhidiagonaal, ja elemendid a 12, a 21 ─ pool

Näide. = -28 + 6 = -22

Kolmandat järku determinandid.

Vaatleme kolmandat järku ruutmaatriksit

A =

Definitsioon. Kolmandat järku determinant maatriksile A vastav arv on valemiga arvutatud arv

│A│= =

Et meeles pidada, millised võrdsuse paremal poolel olevad tooted tuleks võtta plussmärgiga ja millised miinusmärgiga, on kasulik meeles pidada reeglit nn. kolmnurga reegel.

= ─

Näited:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, st. │E 3 │ = 1.

Vaatleme teist võimalust kolmandat järku determinandi arvutamiseks.

Definitsioon. Väike element determinandi a ij on determinant, mis saadakse antud determinandist i-nda rea ​​ja j-nda veeru kustutamise teel. Algebraline komplement Determinandi elemendi a ij-d nimetatakse selle minoorseks M ij , mis võetakse koos märgiga (-1) i+ j .

Näide. Arvutame maatriksis elemendi a 23 moll M 23 ja algebralise täiendi A 23

A =

Arvutame molli M 23:

M 23 = = = - 6 + 4 = -2

A 23 = (-1) 2+3 M 23 = 2

1. teoreem. Kolmandat järku determinant on võrdne mis tahes rea (veeru) elementide ja nende algebraliste komplementide korrutiste summaga.

Doc. A-prioor

= (1)

Valime näiteks teise rea ja leiame algebralise täiendi A 21, A 22, A 23:

A 21 = (-1) 2+1 = -() =

A 22 = (-1) 2+2 =

A 23 = (-1) 2+3 = - () =

Teisendame nüüd valemit (1)

│A│= ( ) + () + () = A 21 + A 22 + A 23

│A│ = A 21 + A 22 + A 23

helistas determinandi laienemine│A│ teise rea elementide kaupa. Samamoodi saab dekompositsiooni saada teiste ridade ja mis tahes veeru elementidest.

Näide.

= (teise veeru elementide kaupa) = 1× (-1) 1+2 + 2 × (-1) 2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. N-ndat järku determinant (n О N).

Definitsioon. n-ndat järku determinant, mis vastab n-ndat järku maatriksile

A =

Arvu nimetatakse võrdseks mis tahes rea (veeru) elementide korrutiste summaga nende algebraliste täiendite järgi, s.o.

│A│= A i1 + A i2 + … + A in = A 1j + A 2j + … + A nj

On lihtne näha, et n = 2 korral saame teist järku determinandi arvutamise valemi.

Näide. = (4. rea elementide järgi) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) = 3 (-20) +2 × 72 = -60 +144 = 84.

Pange tähele, et kui determinandis on kõik rea (veeru) elemendid, välja arvatud üks, võrdsed nulliga, siis on determinandi arvutamisel mugav seda laiendada selle rea (veeru) elementideks.

Näide.

│E n │= = 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1

Determinantide omadused.

Definitsioon. Vaata maatriksit

või

me helistame kolmnurkne maatriks.

Vara 1. Kolmnurkse maatriksi determinant on võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega, s.o.

= =

Vara 2. Nullrea või nullveeruga maatriksi determinant on null.

Kinnistu 3. . Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu, s.t.

│А│= │А t │.

Vara 4. Kui maatriks B saadakse maatriksist A, korrutades teatud rea iga elemendi arvuga k, siis

│B│= k│A│

Vara 5.

= =

Vara 6. Kui maatriks B saadakse maatriksist A kahe rea ümberpaigutamise teel, siis │B│= −│A│.

Vara 7. Proportsionaalsete ridadega maatriksi determinant on võrdne nulliga, eelkõige on kahe identse reaga maatriksi determinant võrdne nulliga.

Vara 8. Maatriksi determinant ei muutu, kui ühe rea elementidele liidetakse maatriksi teise rea elemendid, mis korrutatakse teatud arvuga.

Kommenteeri. Kuna omaduse 3 järgi maatriksi determinant transponeerimisel ei muutu, siis kõik maatriksi ridade omadused kehtivad ka veergude puhul.

Vara 9. Kui A ja B on ruutmaatriksid järku n, siis │AB│=│A││B│.

Pöördmaatriks.

Definitsioon. Kutsutakse ruutmaatriksit A ​​järku n tagurpidi, kui on olemas maatriks B, mille puhul AB = BA = E n. Sel juhul nimetatakse maatriksit B maatriksi pöördvõrdeline A ja on tähistatud A -1.

2. teoreem. Järgmised väited vastavad tõele:

1) kui maatriks A on inverteeritav, siis on olemas täpselt üks pöördmaatriks;

2) pöördmaatriksil on nullist erinev determinant;

3) kui A ja B on pöördmaatriksid järku n, siis on maatriks AB inverteeritav ja (AB) -1 =

V -1 × A -1 .

Tõestus.

1) Olgu B ja C maatriksiga A pöördvõrdelised maatriksid, s.t. AB = BA = E n ja AC = CA = E n. Siis B = BE n = B(AC) = (BA)C = E n C = C.

2) Olgu maatriks A inverteeritav. Siis on maatriks A -1, selle pöördväärtus ja

Determinandi omaduse 9 järgi │АА -1 │=│А││А -1 │. Siis │A││A -1 │=│E n │, kust

│А││А -1 │= 1.

Seetõttu │A│¹ 0.

3) Tõepoolest,

(AB)(B -1 A -1) = (A(BB -1))A -1 = (AE n)A -1 = AA -1 = E n.

(B -1 A -1)(AB) = (B -1 (A -1 A))B = (B -1 E n)B = B -1 B = E n.

Seetõttu on AB inverteeritav maatriks ja (AB) -1 = B -1 A -1 .

Järgnev teoreem annab pöördmaatriksi olemasolu kriteeriumi ja meetodi selle arvutamiseks.

3. teoreem. Ruutmaatriks A on inverteeritav siis ja ainult siis, kui selle determinant on nullist erinev. Kui │А│¹ 0, siis

A -1 = =

Näide. Leidke maatriksi A = pöördmaatriks

Lahendus.│A│= = 6 + 1 = 7.

Kuna │А│¹ 0, siis on olemas pöördmaatriks

A -1 = =

Arvutame A 11 = 3, A 12 = 1, A 21 = -1, A 22 = 2.

A -1 = .

7. loeng.

Lineaarvõrrandisüsteemid. Lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuskriteerium. Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Crameri reegel ja maatriksmeetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks.

Lineaarvõrrandisüsteemid.

Vormi võrrandite kogum

(1)

helistas m lineaarvõrrandi süsteem n tundmatuga x 1, x 2, ..., x n. Nimetatakse numbreid a ij süsteemi koefitsiendid, ja numbrid b i ─ tasuta liikmed.

Süsteemi (1) lahendus on arvude kogum c 1, c 2,..., c n, mille asendamisel süsteemiga (1) x 1, x 2,..., x n asemel saame õiged arvulised võrrandid.

Lahendage süsteem─ tähendab kõigi selle lahenduste leidmist või nende puudumise tõestamist. Süsteemi nimetatakse liigend, kui sellel on vähemalt üks lahendus ja mitteliigeste, kui lahendusi pole.

Süsteemi koefitsientidest koosnev maatriks

A =

Seda nimetatakse süsteemi (1) maatriksiks. Kui lisame süsteemimaatriksile vabade terminite veeru, saame maatriksi

B =
,

mida nimetatakse süsteemi laiendatud maatriks (1).

Kui tähistame

X = , C = , siis süsteemi (1) saab kirjutada maatriksvõrrandi AX=C kujul.