Kirjallisuus: [L.1], s. 50-51
[L.2], s. 65-66
[L.3], s. 24-25
Radiotekniikan käytännön ongelmien ratkaisemiseksi on erittäin tärkeää tietää signaalispektrin keston ja leveyden arvot sekä niiden välinen suhde. Signaalin keston tunteminen antaa meille mahdollisuuden ratkaista viestien lähettämiseen käytettävissä olevan ajan tehokkaan käytön ongelmat, ja spektrin leveyden tunteminen mahdollistaa radiotaajuusalueen tehokkaan käytön.
Näiden ongelmien ratkaiseminen edellyttää tiukkaa määritelmää käsitteille "tehollinen kesto" ja "tehollinen spektrin leveys". Käytännössä keston määrittämiseen on olemassa useita lähestymistapoja. Siinä tapauksessa, että signaali on ajallisesti rajoitettu (lopetussignaali), kuten esimerkiksi suorakaiteen muotoiselle pulssille, keston määrittäminen ei aiheuta vaikeuksia. Tilanne on toinen, kun signaalilla on teoreettisesti ääretön kesto, esimerkiksi eksponentiaalinen pulssi
Tässä tapauksessa aikaväli, jonka aikana signaalin arvo voidaan ottaa tehollisena kestona. Toisessa menetelmässä aikaväli, jonka aikana . Sama voidaan sanoa tehollisen spektrileveyden määrittämisestä.
Vaikka tulevaisuudessa joitain näistä menetelmistä tullaan käyttämään radiosignaalien ja -piirien analysoinnissa, on huomioitava, että menetelmän valinta riippuu merkittävästi signaalin muodosta ja spektrin rakenteesta. Joten eksponentiaaliselle pulssille ensimmäinen näistä menetelmistä on edullisempi, ja kellon muotoiselle signaalille toinen menetelmä on edullisempi.
Universaalimpi lähestymistapa on energiakriteerien käyttäminen. Tällä lähestymistavalla tehollinen kesto ja efektiivinen spektrin leveys otetaan huomioon aikavälinä ja taajuusalueena, jolle ylivoimainen enemmistö signaalienergiasta on keskittynyt.
, (2.52)
, (2.53)
missä on kerroin, joka osoittaa kuinka paljon energiaa on keskittynyt aikaväleihin tai . Yleensä arvo valitaan sisällä 
.
Käytetään kriteerejä (2.52) ja (2.53) suorakulmaisten ja eksponentiaalisten pulssien spektrin keston ja leveyden määrittämiseksi. Suorakaiteen muotoisessa pulssissa kaikki energia keskittyy aikaväliin tai siksi sen kesto on . Mitä tulee efektiiviseen spektrin leveyteen, havaittiin, että yli 90 % pulssienergiasta on keskittynyt spektrin ensimmäiseen keilaan. Jos tarkastellaan pulssin yksisuuntaista (fyysistä) spektriä, niin spektrin ensimmäisen keilan leveys on ympyrätaajuuksilla tai syklisillä taajuuksilla. Tästä seuraa, että suorakaiteen muotoisen pulssin spektrin tehollinen leveys on yhtä suuri
Siirrytään eksponentiaalisen liikemäärän määritelmään. Pulssin kokonaisenergia on
.
Käyttämällä (2.52) saamme
.
Laskemalla yhtälön vasemmalla puolella oleva integraali ja ratkaisemalla se, voimme päästä seuraavaan tulokseen
.
Löydämme eksponentiaalisen pulssin spektrin Fourier-muunnoksen avulla
,
mistä seuraa
.
Korvaamalla tämän lausekkeen lausekkeella (2.53) ja ratkaisemalla yhtälön saadaan
.
Etsitään tehollisen keston ja efektiivisen spektrin leveyden tulo. Suorakaiteen muotoiselle pulssille tämä tuote on
,
tai syklisille taajuuksille
.
Eksponentiaalista vauhtia varten
Siten yksittäisen signaalin tehollisen keston ja spektrin tehollisen leveyden tulo on vakioarvo, joka riippuu vain signaalin muodosta ja kertoimen arvosta. Tämä tarkoittaa, että kun signaalin kesto lyhenee, sen spektri laajenee ja päinvastoin. Tämä tosiasia on jo huomioitu Fourier-muunnoksen ominaisuutta (2.46) tarkasteltaessa. Käytännössä tämä tarkoittaa, että on mahdotonta tuottaa lyhyttä signaalia kapealla spektrillä, mikä on osoitus fyysisestä epävarmuusperiaate.
Teoreettisesti, kuten edellä mainittiin, useimmille jaksollisille funktioille spektri on rajoittamaton, ts. Telemekaniikkasignaalien lähettämiseksi niiden muotoa muuttamatta tarvitaan äärettömän suuri viestintäkanavan kaistanleveys ja amplitudi- ja vaihevääristymien puuttuminen. Lähes kaikilla viestintäkanavilla on rajoitettu kaistanleveys, ja signaalien muoto kanavan läpi siirrettäessä muuttuu, vaikka tällä kaistalla ei olisi amplitudi- ja vaihevääristymiä. Ilmeisesti on tärkeää lähettää se osa signaalin spektristä, joka sisältää harmonisia komponentteja, joilla on suhteellisen suuri amplitudi. Tässä yhteydessä otetaan käyttöön käytännön signaalispektrin leveyden käsite. Käytännöllinen signaalispektrin leveys ymmärretään taajuusalueeksi, jolla signaalin harmoniset komponentit, joiden amplitudit ylittävät ennalta määrätyn arvon, ovat.
Koska signaalin vapauttama keskimääräinen teho 1 ohmin aktiivisella resistanssilla on harmonisten komponenttien tällä vastuksella vapauttamien tehojen summa,
Käytännön spektrin leveys energian näkökulmasta voidaan määritellä taajuusalueeksi, jolle ylivoimainen enemmistö signaalitehosta on keskittynyt.
Esimerkkinä määritetään suorakulmaisten pulssien jaksollisen sekvenssin spektrin käytännöllinen leveys (kuva 1.8, a), jos on tarpeen ottaa huomioon signaalin kaikki harmoniset komponentit, joiden amplitudi on suurempi kuin 0,2 ensimmäisen harmonisen amplitudista. Huomioon otettavien harmonisten määrä k voidaan saada lausekkeesta
,
missä k= 5.
Siten käytännön spektrin leveys tarkasteltavassa esimerkissä osoittautuu yhtä suureksi kuin 5W 1, se sisältää vain kolme harmonista (ensimmäinen, kolmas ja viides) ja vakiokomponentin.
Keskimääräinen teho Pk 5 lueteltujen komponenttien aktiivisessa resistanssissa, joka on 1 ohm, on yhtä suuri kuin
Keskimääräinen teho, jonka signaalin kaikki komponentit vapauttavat samassa vastuksessa, on
Täten, 
%, ts. käytännön spektriin kuuluvat komponentit allokoivat 96 % signaalin kokonaistehosta aktiivisessa vastuksessa.
Ilmeisesti tämän signaalin käytännön spektrin laajentaminen (yli 5W 1) on epäkäytännöllistä energian kannalta.
Signaalin spektrin rajoittaminen vaikuttaa myös sen muotoon. Havainnollistamiseksi kuvassa. Kuva 1.8 esittää suorakaiteen muotoisten pulssien muodon muutoksen säilyttäen vain vakiokomponentin ja spektrin ensimmäisen harmonisen (Kuva 1.8, b), kun spektri on rajoitettu taajuuteen 3W 1 (kuva 1.8, V) ja kun spektri on rajoitettu taajuuteen 5W 1 (kuva 1.8, G). Kuten kuvasta seuraa, mitä jyrkempi pulssin eturintaman tulee olla, sitä enemmän signaaliin tulee sisällyttää korkeampia harmonisia komponentteja.
A 0 +A 1 (t)
 | |||||||
 | |||
|
|||||
|
|||||
|
|
A 0 +A 1 (t)+A 3 (t) A 0 +A 1 (t)+A 3 (t)+A 5 (t)
 |  |
||||||
|
|
Riisi. 1.8. Aaltomuotoja, kun sekvenssin spektri on rajoitettu
suorakaiteen muotoiset pulssit
Jaksottaisen signaalin muodon harkittu riippuvuus yhteenlaskettujen harmonisten lukumäärästä osoittaa, että signaalispektrin käytännön leveyttä valittaessa ei voida rajoittaa pelkästään energianäkökohtia. On tarpeen ottaa huomioon vaatimukset signaalille järjestelmän lähdössä sekä energian näkökulmasta että sen muodon säilyttämisen kannalta. Yleisessä tapauksessa signaalispektrin käytännöllinen leveys valitaan ehdosta
, (1.21)
missä m = 0,5... 2 – pulssin muototekijä; kun m = 1, noin 90 % signaalin kokonaisenergiasta lähetetään.
Pulssikoodin kaukomittausjärjestelmissä, kuten myös monissa kauko-ohjausjärjestelmissä, jokainen koodiyhdistelmä koostuu tietystä suorakulmaisten pulssien ja taukojen sarjasta. Mitatun parametrin tai komennon tiettyä arvoa vastaava koodiyhdistelmä voidaan lähettää ajoittain viestintäkanavan yli. Tällaisen signaalin spektri riippuu tietysti siitä, mitä koodiyhdistelmää lähetetään. Mutta tärkein tekijä, joka määrää korkeampien harmonisten osuuden spektrissä, on edelleen korkein pulssin toistotaajuus. Siksi pulssikoodijärjestelmissä käytännössä tarvittavaa taajuuskaistanleveyttä määritettäessä valitaan signaali suorakaiteen muotoisten pulssien jaksollisena sarjana (kuva 1.5). Parametri t valitaan yhtä suureksi kuin lyhimmän pulssin kesto kaikista koodiyhdistelmistä löytyvistä pulssista, toistojakso T= 2t. Tässä tapauksessa suurin pulssin toistotaajuus W max = 2p/ T ja spektrin perusharmonisen taajuus W 1 = W max. Tarvittava signaalin kaistanleveys määritetään diskreetillä spektrillä, jossa on rajoitettu määrä komponentteja ja lausekkeen (1.21) mukaisesti.
Tarvittavan taajuuskaistan määräävän spektrin luonne ei riipu pelkästään signaalin tyypistä, vaan myös siirtotiellä vallitsevista olosuhteista. Jos järjestelmässä esiintyy transientteja prosesseja yhden pulssin lähetyksen aikana ennen kuin seuraava pulssi tapahtuu, niin jaksollisen pulssisarjan sijaan voidaan harkita itsenäisten yksittäisten pulssien lähettämistä.
Meille on jo selvää, että mitä lyhyempi signaalin kesto, sitä laajempi sen spektri.
Tämä signaaliteorian perusasema voidaan määrittää yleisessä muodossa Fourier-muunnoksen perusteella
Tarkastellaan jokaisen integraalin käyttäytymistä Ω:n kasvaessa.
Riemmannin lemman mukaisesti, joka sanoo, että jos funktio s(t) on absoluuttisesti integroitavissa intervalliin, niin
Tämän väitteen geometrista merkitystä havainnollistaa kuvio, jonka yläosassa on kuvattu jokin mielivaltainen signaali s(t) ja harmoninen värähtely taajuudella Ω ja alaosassa - niiden tulo.
Riittävän korkealla taajuudella Ω jokainen positiivinen puoliaalto kompensoituu lähes kokonaan sitä lähimpänä olevalla negatiivisella puoliaalolla ja käyrän s(t)cos(Ωt) tai s(t)sin(Ωt) alla oleva kokonaispinta-ala on lähellä nollaa. Riittävän korkealla taajuudella tulisi ymmärtää taajuus Ω=2π/T, jolla jakso T on riittävän pieni verrattuna signaalin kestoon s(t).
Ilmeisesti mitä lyhyempi signaali, sitä lyhyempi jakso T vastaa tätä ehtoa.
Toisin sanoen mitä lyhyempi signaali, sitä korkeampi signaalispektrin rajataajuus. Koska spektrin alaraja on nollataajuuden vieressä, mitä lyhyempi signaalin kesto, sitä laajempi kokonaisspektri on. Osoittautuu, että keston ja sen spektrin "teknisen" leveyden tulo on lähellä yksikköä oleva arvo.
Aiemmin annoimme laadullisen määritelmän vastaavalle kestolle, tiukemmin se voidaan määritellä näin
Lisäksi aikalaskennan alku osuu pulssin keskikohtaan, joten ehto täyttyy
Vastaavasti ekvivalentin spektrin leveys ΔΩ=2πΔF saadaan kaavalla
Lisäehdoin
Taajuusohjeen origon määrittäminen Ω-akselilla.
Jos signaali normalisoidaan siten, että sen energia E on yhtä suuri kuin yksikkö, ts.
Tämä lauseke τ:lle ja ΔΩ:lle, riippuen signaalin muodosta, ei voi missään tapauksessa olla pienempi kuin ½.
Siten mille tahansa signaalille ehto τ ja ΔF≥1/4π täyttyy.
Erityisesti Gaussin pulssin osalta löydämme aiemmin saatujen tulosten perusteella
Normalisointiehdon käyttäminen
saamme
Tästä esimerkistä on selvää, että kaikista Gaussin signaaleista pulssilla on pienin mahdollinen τ:n ja ΔF:n tulon arvo.
Pulssin ajoissa puristamiseen esimerkiksi sen ilmestymishetken mittaustarkkuuden lisäämiseksi liittyy väistämättä pulssispektrin laajeneminen, mikä pakottaa mittauslaitteen kaistanleveyden laajentumaan. Vastaavasti esimerkiksi pulssispektrin pakkaamiseen taajuuden mittauksen tarkkuuden lisäämiseksi liittyy väistämättä signaalin venymistä ajassa, mikä edellyttää havainto- (mittaus)-ajan pidentämistä. Kyvyttömyys samanaikaisesti keskittää signaalia kapealle kaistalle usein ja lyhyessä ajassa on yksi fysiikassa tunnetun epävarmuusperiaatteen ilmenemismuoto.
Työssä todettiin, että nollien lukumäärän kasvaessa FM-signaalin kompleksisen verhokäyrän spektri siirtyy korkeampien taajuuksien alueelle. Tämä tarkoittaa spektrin sen osan siirtymistä, johon suurin osa signaalienergiasta on keskittynyt, koska periaatteessa FM-signaalin spektri ei ole yhtä suuri kuin nolla (paitsi pistejoukko, jonka mitta on nolla ) koko taajuusakselilla
spektrin siirto, voit käyttää efektiivisen spektrin leveyden käsitettä, esimerkiksi ), joka määräytyy suhteen perusteella
PM-signaalien tapauksessa osoittajan integraali poikkeaa, eikä määritelmässä (11.8) ole mitään järkeä. Mutta kun otetaan huomioon, että suurin osa FM-signaalin energiasta on keskittynyt ensimmäisten nollien väliin, niin integraalin äärettömät rajat osoittajassa voidaan korvata. Siirrytään muuttujaan ja otetaan huomioon, että funktio on parillinen , ja integraali nimittäjässä (11.8) on yhtä suuri kuin, määritämme FM-signaalin kompleksisen verhokäyrän spektrin tehollisen leveyden lohkoilla seuraavasti:
Korvaamalla (11.6) arvolla (11.9), saamme
eli tällä määritelmällä se on verrannollinen jaksollisen funktion (11.7) integraaliin jakson aikana. Integroinnin jälkeen löydämme
Siksi mitä enemmän lohkoja FM-signaalissa on, sitä suurempi on . Taulukossa Kuvassa 11.1 on esitetty arvot useille FM-signaaleille, jotka eroavat toisistaan merkittävästi rakenteeltaan.
Taulukon ensimmäisellä rivillä. Kuva 11.1 esittää tiedot suorakaiteen muotoisesta pulssista, jonka kesto on vain yksi lohko Mitä enemmän sitä vähemmän Tämä esimerkki vastaa FM-signaalia, jossa on pienin lohkomäärä. Sisään
Taulukko 11.1 (katso skannaus)
taulukon toinen rivi. Kuva 11.1 esittää tiedot FM-signaalista, jossa on eniten lohkoja Tämä FM-signaali (meander) edustaa vuorottelevien pulssien sarjaa. Mikä on meanderin enimmäisarvo. Kolmas rivi näyttää tiedot optimaalisesta FM-signaalista, jolla on puolet tällaisen signaalin enimmäisarvosta. Siten optimaalisten PM-signaalien tehollinen spektrin leveys on suunnilleen niiden arvojen puolivälissä, jotka vastaavat kahta neliöpulssin ja neliöaallon ääriarvoa. Viimeinen rivi näyttää ideaalisen (hypoteettisen) signaalin spektrin tehollisen leveyden, joka koostuu pulsseista, joiden energiaspektri osuu yhteen yhden kestoisen pulssin energiaspektrin kanssa