Determinististen signaalien korrelaatioanalyysi. Signaalikorrelaatiofunktiot. Determinististen signaalien korrelaatio-spektrianalyysi

Transkriptio

1 1 SIGNAALIT ja LINEAARISET JÄRJESTELMÄT Signaalit ja lineaarijärjestelmät. Signaalien korrelaatio Aihe 6. SIGNAALIEN KORRELAATIO Äärimmäinen pelko ja äärimmäinen rohkeuden kiihko häiritsevät vatsaa ja aiheuttavat ripulia. Michel Montaigne. Ranskalainen lakimies-ajattelija, 1500-luku. Tämä on numero! Näillä kahdella funktiolla on 100 % korrelaatio kolmannen kanssa ja ne ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden. No, Kaikkivaltialla oli vitsejä maailman luomisen aikana. Anatoli Pyshmintsev. Novosibirskin Ural-koulun geofyysikko, 1900-luku. Sisältö 1. Signaalien autokorrelaatiofunktiot. Autokorrelaatiofunktioiden (ACF) käsite. Aikarajoitettujen signaalien ACF. Jaksottaisten signaalien ACF. Autokovarianssifunktiot (ACF). Erillisten signaalien ACF. Meluisten signaalien ACF. Koodisignaalien ACF. 2. Signaalien ristikorrelaatiofunktiot (CCF). Ristikorrelaatiofunktio (CCF). Kohinaisten signaalien ristikorrelaatio. Diskreettien signaalien VCF. Jaksottaisten signaalien estimointi kohinassa. Keskinäisten korrelaatiokertoimien funktio. 3. Korrelaatiofunktioiden spektritiheydet. ACF:n spektritiheys. Signaalin korrelaatioväli. VKF:n spektritiheys. Korrelaatiofunktioiden laskenta FFT:llä. JOHDANTO Korrelaatio ja sen erikoistapaus keskitetyille signaaleille, kovarianssi, on signaalianalyysimenetelmä. Esittelemme yhden menetelmän käyttövaihtoehdoista. Oletetaan, että on olemassa signaali s(t), joka voi (tai ei) sisältää jonkin jonon x(t), jonka pituus on T äärellinen ja jonka ajallinen sijainti kiinnostaa meitä. Tämän sekvenssin etsimiseksi T-pituisesta aikaikkunasta, joka liukuu signaalia s(t) pitkin, lasketaan signaalien s(t) ja x(t) skalaaritulot. Siten "sovitamme" halutun signaalin x(t) signaaliin s(t) liukuen sen argumenttia pitkin ja skalaaritulon arvolla arvioimme signaalien samankaltaisuuden astetta vertailupisteissä. Korrelaatioanalyysi mahdollistaa sen, että signaaleissa (tai signaalien sarjassa) voidaan määrittää tietty yhteys signaaliarvojen muutosten välillä riippumattomassa muuttujassa, eli kun yhden signaalin suuret arvot (suhteellinen) keskimääräisiin signaaliarvoihin) liittyvät toisen signaalin suuriin arvoihin (positiivinen korrelaatio), tai päinvastoin, yhden signaalin pienet arvot liittyvät toisen signaalin suuriin arvoihin (negatiivinen korrelaatio) tai kaksi signaalia eivät liity millään tavalla toisiinsa (nollakorrelaatio). Signaalien toiminnallisessa avaruudessa tämä yhteysaste voidaan ilmaista korrelaatiokertoimen normalisoituina yksiköinä, ts. signaalivektorien välisen kulman kosinissa, ja vastaavasti ottaa arvot 1:stä (signaalien täydellinen yhteensattuma) -1 (täysin vastakohta) eikä se riipu mittayksiköiden arvosta (asteikko) . Autokorrelaatioversiossa käytetään samanlaista tekniikkaa signaalin s(t) skalaaritulon määrittämiseen omalla kopiollaan, joka liukuu argumenttia pitkin. Autokorrelaation avulla voit arvioida nykyisten signaalinäytteiden keskimääräisen tilastollisen riippuvuuden niiden aikaisemmista ja myöhemmistä arvoista (signaaliarvojen ns. korrelaatiosäde) sekä tunnistaa ajoittain toistuvien elementtien läsnäolon signaalissa. Korrelaatiomenetelmät ovat erityisen tärkeitä satunnaisten prosessien analysoinnissa, jotta voidaan tunnistaa ei-satunnaisia ​​komponentteja ja arvioida näiden prosessien ei-satunnaisia ​​parametreja. Huomaa, että termien "korrelaatio" ja "kovarianssi" suhteen on jonkin verran sekaannusta. Matemaattisessa kirjallisuudessa termiä "kovarianssi" käytetään keskitettyihin funktioihin ja "korrelaatiota" mielivaltaisiin funktioihin. Teknisessä kirjallisuudessa ja erityisesti signaaleja ja niiden käsittelymenetelmiä käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään usein täysin päinvastaista terminologiaa. Tällä ei ole perustavanlaatuista merkitystä, mutta kirjallisiin lähteisiin tutustuessa kannattaa kiinnittää huomiota näiden termien hyväksyttyyn tarkoitukseen: SIGNAALIEN AUTOKORRELAATIOTOIMINNOT. Signaalien autokorrelaatiofunktioiden käsite. Energialtaan äärellisen signaalin s(t) autokorrelaatiofunktio (CF - korrelaatiofunktio) on signaalin muodon kvantitatiivinen integraaliominaisuus, joka tunnistaa signaalissa näytteiden keskinäisen ajallisen suhteen luonteen ja parametrit, joita esiintyy aina. jaksollisille signaaleille sekä intervalli- ja Ste-

2 2 sakkoa nykyisen ajan lukuarvojen riippuvuudesta nykyisen hetken esihistoriasta. ACF määräytyy signaalin s(t) kahden kopion tulon integraalilla, jotka on siirretty suhteessa toisiinsa ajan mukaan: B s () = s(t) s(t+) dt = s(t), s (t+) = s(t) s (t+)cos(). (6.1.1) Kuten tästä lausekkeesta seuraa, ACF on signaalin ja sen kopion skalaaritulo toiminnallisessa riippuvuudessa siirtymän muuttujaarvosta. Vastaavasti ACF:llä on energian fyysinen ulottuvuus, ja kun = 0, ACF:n arvo on suoraan yhtä suuri kuin signaalin energia ja on suurin mahdollinen (signaalin ja itsensä välisen vuorovaikutuskulman kosini on 1) : B s (0) = s (t) 2 dt = E s. ACF viittaa parillisiin funktioihin, mikä on helppo varmistaa korvaamalla muuttuja t = t- lausekkeessa (6.1.1): B s () = s(t-) s(t) dt = B s (-). Suurin ACF, joka on yhtä suuri kuin signaalienergia kohdassa =0, ​​on aina positiivinen, eikä ACF-moduuli millään aikasiirtymän arvolla ylitä signaalienergiaa. Jälkimmäinen seuraa suoraan skalaaritulon ominaisuuksista (kuten Cauchyn ja Bunyakovskyn epäyhtälö): s(t), s(t+) = s(t) s(t+ cos (), cos () = 1 at = 0 , s(t) , s(t+) = s(t) s(t) = E s, cos ()< 1 при 0, s(t), s(t+) = s(t) s(t+) cos () < E s. Рис В качестве примера на рис приведены два сигнала прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной T амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения). С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак + в выражении (6.1.1) означает, что при увеличении значений копия сигнала s(t+) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (6.1.1) функции s(t-) вместо s(t+).

3 3 B s () = s(t) s(t-) dt. (6.1.1") Äärillisillä signaaleilla siirron arvon kasvaessa signaalin väliaikainen päällekkäisyys sen kopion kanssa pienenee, ja vastaavasti vuorovaikutuskulman kosini ja skalaaritulo kokonaisuutena ovat yleensä nolla: lim Bs(τ) = 0. τ ACF, joka lasketaan keskitetystä signaalin arvosta s(t), on signaalin autokovarianssifunktio: C s () = dt, (6.1.2) missä s on signaalin keskiarvo. Kovarianssifunktiot liittyvät korrelaatiofunktioihin melko yksinkertaisella suhteella: C s () = B s () - 2 s. Ajallisesti rajoitettujen signaalien ACF Käytännössä yleensä tutkitaan ja analysoidaan tietyllä aikavälillä määriteltyjä signaaleja. Eri aikavälein määritettyjen signaalien ACF:n vertailemiseksi ACF:n muunnos, jossa on normalisointi intervallin pituuteen, löytää käytännön sovelluksen, joten esimerkiksi määritettäessä signaali väliltä: B s () = b 1 s (t) s(t+) dt (6.1.3) a a ACF voidaan laskea myös heikosti vaimennetuille signaaleille, joilla on ääretön energia, signaalin skalaaritulon ja sen kopioiden keskiarvona, kun signaalin asetusväli pyrkii äärettömään: b T B s () lim s(t) s(t τ) dt T T 1 0. (6.1.4) Näiden lausekkeiden mukaan ACF:llä on tehon fyysinen ulottuvuus, ja se on yhtä suuri kuin keskimääräinen keskinäinen tehosignaali ja sen kopio toiminnallinen riippuvuus kopion siirtymisestä. Jaksottaisten signaalien ACF. Jaksollisten signaalien energia on ääretön, joten jaksollisten signaalien ACF lasketaan yhdelle jaksolle T, jolloin signaalin skalaaritulon ja sen siirtyneen kopion jakson sisällä keskiarvo lasketaan: Matemaattisesti tiukempi lauseke: B s () lim T s(t) s(t - τ) dt T T 1 0 B s () = (1/T) T s(t) s(t-) dt. (6.1.5) 0 Kun =0, jaksoon normalisoidun ACF:n arvo on yhtä suuri kuin signaalien keskimääräinen teho jakson sisällä. Tässä tapauksessa jaksollisten signaalien ACF on jaksollinen funktio, jolla on sama jakso T. Näin ollen signaalille s(t) = A cos(0 t+ 0) kohdassa T=2/0 meillä on: ω π/ω0 0 B s () = A cos (0 t+ 0) A cos(0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos(0). (6.1.6) 2π π/ω 0 Saatu tulos ei riipu harmonisen signaalin alkuvaiheesta, mikä on tyypillistä mille tahansa jaksolliselle signaalille ja on yksi ACF:n ominaisuuksista. Autokorrelaatiofunktioiden avulla voit tarkistaa mielivaltaisten signaalien jaksolliset ominaisuudet. Esimerkki jaksollisen signaalin autokorrelaatiofunktiosta on esitetty kuvassa. Autokovarianssifunktiot (ACF) lasketaan samalla tavalla käyttäen keskitettyjä signaaliarvoja. Näiden toimintojen merkittävä ominaisuus on niiden yksinkertainen suhde 2 s signaalien hajaannukseen (standardin neliö - signaaliarvojen keskihajonnan keskiarvosta). Kuten tiedät, tiedät...

4 4 dispersioarvo on yhtä suuri kuin keskimääräinen signaaliteho, joka on seuraava: C s () s 2, C s (0) = s 2 s(t) 2. (6.1.7) FAC-arvot on normalisoitu dispersioarvot ovat autokorrelaatiokertoimien funktioita: s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2 cos. (6.1.8) Tätä funktiota kutsutaan joskus "todelliseksi" autokorrelaatiofunktioksi. Normalisoinnin vuoksi sen arvot eivät riipu signaaliarvojen s(t) esitysyksiköistä (asteikko) ja kuvaavat signaaliarvojen välisen lineaarisen suhteen astetta signaalinäytteiden välisen siirtymän suuruudesta riippuen . S()cos():n arvot voivat vaihdella 1:stä (näytteiden täydellinen korrelaatio eteenpäin) -1:een (käänteinen korrelaatio). Kuva. Kuvassa on esimerkki signaaleista s() ja s1() = s()+kohina näitä signaaleja vastaavilla FAK-kertoimilla - s ja s1. Kuten kaavioista voidaan nähdä, FAK paljasti luotettavasti signaalien jaksottaisten värähtelyjen esiintymisen. S1()-signaalin kohina vähensi jaksollisten värähtelyjen amplitudia jaksoa muuttamatta. Tämän vahvistaa C s / s1 -käyrän kaavio, ts. Signaalin s() FAC normalisoinnilla (vertailua varten) signaalin dispersion arvoon s1(), jossa näkyy selvästi, että kohinapulssit aiheuttivat näytteensä täydellisellä tilastollisella riippumattomuudellaan C:n arvon nousun. s1 (0) suhteessa C s(0):n arvoon ja jonkin verran "sumensi" autokovarianssikertoimien funktiota. Tämä johtuu siitä, että kohinasignaalien arvo s () pyrkii 1:ksi 0:ssa ja vaihtelee nollan ympärillä 0:ssa, kun taas vaihteluamplitudit ovat tilastollisesti riippumattomia ja riippuvat signaalinäytteiden lukumäärästä (niillä on taipumus olla nolla numerona näytteiden määrä kasvaa). Erillisten signaalien ACF. Datan näytteenottovälillä t = const ACF-laskenta suoritetaan intervalleilla = t ja se kirjoitetaan yleensä näytesiirron n lukujen n diskreettifunktiona: B s (nt) = t s s -n. (6.1.9) Diskreetit signaalit määritellään yleensä tietynpituisina numeerisina matriisina, joiden näytenumerointi on k = 0,1, K kohdalla t = 1, ja diskreetin ACF:n laskenta energiayksiköissä suoritetaan yksisuuntaisesti. versio, ottaen huomioon taulukoiden pituus. Jos koko signaaliryhmä on käytössä ja ACF-näytteiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisinäytteiden lukumäärä, niin laskenta suoritetaan kaavan mukaan: B s (n) = K-n K K n s s -n. (6.1.10) Kerroin K/(K-n) tässä funktiossa on korjauskerroin kerrottujen ja summattujen arvojen asteittaiselle vähenemiselle siirtymän n kasvaessa. Ilman tätä keskittämättömien signaalien korjausta keskiarvojen summaustrendi näkyy ACF-arvoissa. Signaalitehon yksiköissä mitattuna kertoja K/(K-n) korvataan kertoimella 1/(K-n). Kaavaa (6.1.10) käytetään melko harvoin, lähinnä deterministisille signaaleille, joissa on pieni määrä näytteitä. Satunnaisten ja kohinaisten signaalien tapauksessa nimittäjän (K-n) ja kerrottujen näytteiden lukumäärän lasku siirtymän kasvaessa johtaa tilastollisten vaihteluiden lisääntymiseen ACF-laskennassa. Parempi luotettavuus näissä olosuhteissa saadaan laskemalla ACF signaalitehon yksikköinä kaavalla: 0

5 K 5 B s (n) = K 1 s s -n, s -n = 0 at -n< 0, (6.1.11) 0 т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах -n или в правую сторону при использовании сдвигов +n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (6.1.10). Разницу между нормировками по формулам (6.1.10) и (6.1.11) можно наглядно видеть на рис Рис Формулу (6.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оценку математического ожидания: B s (n) = M{s s -n } s s. (6.1.12) n Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки. АКФ зашумленных сигналов. Зашумленный сигнал записывается в виде суммы v() = s()+q(). В общем случае, шум не обязательно должен иметь нулевое среднее значение, и нормированная по мощности автокорреляционная функция цифрового сигнала, содержащая N отсчетов, записывается в следующем виде: B v (n) = (1/N) s()+q(), s(-n)+q(-n) = = (1/N) = = B s (n) + M{s q -n } + M{q s -n } + M{q q -n }. B v (n) = B s (n) + s q n + q s n + q q n. (6.1.13) При статистической независимости полезного сигнала s() и шума q() с учетом разложения математического ожидания M{s q -n } = M{s } M{q -n } = s q может использоваться следующая формула: Рис B v (n) = B s (n) + 2 s q + q. (6.1.13") Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с незашумленным сигналом приведен на рис Из формул (6.1.13) следует, что АКФ зашумленного сигнала состоит из АКФ сигнальной компоненты полезного сигнала с наложенной затухающей до значения 2s q + q 2 шумовой функцией. При больших значениях K, когда q 0, имеет место B v (n) B s (n). Это дает возможность не только выделять по АКФ периодические сигналы, практически полностью скрытые в шуме (мощность шумов много больше мощности сигнала), но и с высокой точностью определять их период и форму в пределах периода, а для одночастотных гармонических сигналов и их амплитуду с использованием выражения (6.1.6).

6 Taulukko 6.1. M Barker-signaali ACF-signaali 2 1, -1 2, 1, -1 3, 0, 1, 1, -1 4, 1, 0, -1 1, 1, -1, 1 4, -1, 0, 1 5 1, 1, 1, -1, 1 5, 0, 1, 0, 1 7 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1 7, 0, -1, 0, -1, 0 ,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,-1 11,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0, 1,1,1,1,-1,-1,1,1-1,1,-1,1 13,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0, 1 6 Koodisignaalit ovat erillisiä signaaleja. Tietyllä koodisanavälillä Mt niillä voi olla vain kaksi amplitudiarvoa: 0 ja 1 tai 1 ja 1. Tunnistettaessa koodeja merkittävällä kohinatasolla koodisanan ACF:n muoto on erityisen tärkeä. Tästä näkökulmasta parhaat koodit ovat ne, joiden ACF-sivukeilan arvot ovat minimaaliset koko koodisanavälin pituudelta keskihuipun maksimiarvolla. Tällaisia ​​koodeja ovat taulukossa 6.1 näkyvä Barker-koodi. Kuten taulukosta voidaan nähdä, koodin keskihuipun amplitudi on numeerisesti yhtä suuri kuin M:n arvo, kun taas sivuttaisvärähtelyjen amplitudi kohdassa n 0 ei ylitä SIGNAALIEN KESKINÄISTÄ ​​KORRELAATIOTOIMINTOJA. Eri signaalien ristikorrelaatiofunktio (CCF) kuvaa sekä kahden signaalin muodon samankaltaisuuden astetta että niiden suhteellista sijaintia suhteessa toisiinsa koordinaatilla (riippumaton muuttuja). Yleistämällä autokorrelaatiofunktion kaava (6.1.1) kahdelle eri signaalille s(t) ja u(t) saadaan seuraava signaalien skalaaritulo: B su () = s(t) u(t+) dt. (6.2.1) Signaalien ristikorrelaatio luonnehtii tiettyä näiden signaalien heijastamien ilmiöiden ja fyysisten prosessien korrelaatiota ja voi toimia tämän suhteen stabiiliuden mittana, kun signaaleja käsitellään erikseen eri laitteissa. Signaaleille, joilla on äärellinen energia, VCF on myös äärellinen, ja: B su () s(t) u(t), mikä seuraa Cauchyn-Bunyakovsky-epäyhtälöstä ja signaalinormien riippumattomuudesta koordinaattisiirrosta. Kun kaavassa (6.2.1) korvataan muuttuja t = t-, saadaan: B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (- ). Kuva Signaalit ja VKF. Tästä seuraa, että pariteettiehto ei täyty VCF:lle, B su () B su (-), eikä VCF:n arvojen tarvitse olla maksimiarvoa = 0. Tämä näkyy selvästi kuvasta 1. , jossa annetaan kaksi identtistä signaalia keskipisteillä 0.5 ja 1.5. Laskenta kaavalla (6.2.1) arvojen asteittaisella lisäyksellä tarkoittaa signaalin s2(t) peräkkäisiä siirtymiä vasemmalle aika-akselia pitkin (jokaiselle s1(t) arvolle arvot s2(t+) ) ovat integrandi). Kohdassa =0 signaalit ovat ortogonaalisia ja arvo B 12 ()=0. Maksimi B 12 () havaitaan, kun signaalia s2(t) siirretään vasemmalle arvolla =1, jolloin signaalit s1(t) ja s2(t+) yhdistetään täysin. Samat kaavojen (6.2.1) ja (6.2.1") mukaiset CCF:n arvot havaitaan signaalien samassa suhteellisessa paikassa: kun signaalia u(t) siirretään intervallin verran suhteessa s( t) oikealle ordinaatta-akselia pitkin ja signaali s(t) suhteessa signaaliin u(t) vasemmalle, eli B su () = B us (-

7 7 Kuvassa on esimerkkejä CCF:stä suorakulmaiselle signaalille s(t) ja kahdelle identtiselle kolmiomaiselle signaalille u(t) ja v(t). Kaikilla signaaleilla on sama kesto T, kun taas signaalia v(t) siirretään eteenpäin intervallin T/2 verran. Signaalit s(t) ja u(t) ovat aikapaikaltaan identtisiä ja signaalien "päällekkäinen" alue on maksimiarvossa =0, ​​joka on kuva Signaalien keskinäiset kovarianssifunktiot. ja se on kiinnitetty funktiolla B su. Samanaikaisesti funktio B su on jyrkästi epäsymmetrinen, koska epäsymmetrisellä signaalimuodolla u(t) symmetriselle muodolle s(t) (suhteessa signaalien keskustaan) signaalin "päällekkäinen" alue. signaalit muuttuvat eri tavalla siirron suunnasta riippuen (merkki kun arvo kasvaa nollasta). Kun signaalin u(t) alkusijaintia siirretään vasemmalle ordinaatta-akselia pitkin (ennen signaalia s(t) - signaali v(t)), CCF:n muoto pysyy muuttumattomana ja siirtyy oikealle samalla siirtoarvolla, funktio B sv kuvassa. Jos vaihdat paikkoja (6.2.1) funktioiden lausekkeita, niin uusi funktio B vs on funktio B sv, joka peilataan suhteessa =0. Nämä ominaisuudet huomioon ottaen kokonais-CCF lasketaan pääsääntöisesti erikseen positiivisille ja negatiivisille viiveille: B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1") Kohinaisten signaalien ristikorrelaatio. Kahdelle kohinaiselle signaalille u(t) = s1(t)+q1(t) ja v(t) = s2(t)+q2(t) tekniikkaa käyttäen johtamiskaavojen ( 6.1.13) korvaamalla signaalin s(t) kopio signaalilla s2(t), on helppo johtaa ristikorrelaatiokaava seuraavassa muodossa: B uv () = B s1s2 ( ) + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2) Kolme viimeistä termiä kohdan (6.2.2) oikealla puolella vaimenevat nollaan signaalien kasvaessa. , lauseke voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa: B uv () = B s1s2 () + s1( ) q2() + q1() s2() + q1() q2() (6.2.3) Nollalle keskimääräiselle kohinalle arvot ja signaalien tilastollinen riippumattomuus, seuraava pätee: B uv () B s1s2 (). Diskreettien signaalien CCF Kaikki analogisten signaalien VCF:n ominaisuudet pätevät myös diskreettien signaalien VCF:lle, kun taas diskreettien ominaisuudet niille pätevät myös yllä kuvatut signaalit diskreetille ACF:lle (kaavat) Erityisesti, kun t = const = 1 signaaleille x() ja y() näytteiden lukumäärällä K: B xy (n) = Normalisoituna tehoyksiköissä : K K n K K-n 0 x y -n. (6.2.4) B xy (n) = K 1 x y -n x y n. (6.2.5) 0 Jaksottaisten signaalien estimointi kohinassa. Kohinainen signaali voidaan arvioida ristikorreloimalla "viite"-signaalin kanssa yritys- ja erehdyksen avulla säätämällä ristikorrelaatiofunktio maksimiarvoonsa. Signaalille u()=s()+q(), jolla on tilastollinen riippumattomuus kohinasta ja q 0, ristikorrelaatiofunktio (6.2.2) signaalikuviolla p() ja q2()=0 saa muotoa: B ylös () = B sp () + B qp () = B sp () + q p. Ja koska q 0 kun N kasvaa, niin B ylös () B sp (). Ilmeisesti B up()-funktiolla on maksimi, kun p() = s(). Muuttamalla kuvion p() muotoa ja maksimoimalla funktio B up(), saadaan s() estimaatti optimaalisen muodon p() muodossa. Ristikorrelaatiokerroinfunktio (MCF) on signaalien s(t) ja u(t) samankaltaisuusasteen kvantitatiivinen indikaattori. Samanlainen kuin autokorrelaatiokertoimien funktio

8 8 tekijää, se lasketaan funktioiden keskitettyjen arvojen kautta (keskinäisen kovarianssin laskemiseksi riittää, että keskitetään vain yksi funktioista), ja normalisoidaan standardifunktioiden arvojen tuloksi s (t) ja v(t): su () = C su ()/s v. (6.2.6) Intervalli korrelaatiokertoimien arvojen muuttamiselle siirtymien aikana voi vaihdella 1:stä (täydellinen käänteinen korrelaatio) 1:een (täydellinen samankaltaisuus tai sataprosenttinen korrelaatio). Siirtymissä, joissa havaitaan su():n nolla-arvoja, signaalit ovat toisistaan ​​riippumattomia (korreloimattomia). Ristikorrelaatiokertoimen avulla voit määrittää signaalien välisen yhteyden riippumatta signaalien fyysisistä ominaisuuksista ja niiden suuruudesta. Laskettaessa rajallisen pituisten kohinaisten diskreettien signaalien CCF-arvoa kaavan (6.2.4) avulla on olemassa todennäköisyys, että arvot su (n) > 1 esiintyvät. Jaksottaisille signaaleille CCF-käsitettä ei yleensä käytetä, lukuun ottamatta signaaleja, joilla on sama aikajakso, esimerkiksi tulo- ja lähtösignaalit järjestelmien ominaisuuksien tutkimisessa. ACF:n spektritiheys voidaan määrittää seuraavien yksinkertaisten näkökohtien perusteella. Lausekkeen (6.1.1) mukaisesti ACF on signaalin ja sen kopion skalaaritulon funktio, joka on siirretty aikavälillä -< < : B s () = s(t), s(t-). Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности: s(t), s(t-) = (1/2) S() S *() d Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-j), а для сопряженного спектра на множитель exp(j): S *() = S*() exp(j). С учетом этого получаем: s ()= (1/2) S() S*() exp(j) d = (1/2) S() 2 exp(j) d (6.3.1) Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье: B s () S() 2 = W s (). (6.3.2) Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ: S() 2 = B s () exp(-j) d. (6.3.3) Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности. Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов Рис Спектр несуществующей АКФ первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате по-

9 9 aiheuttaa ACF:n jakamisen tietyn jatkuvan funktion ja suorakaiteen muotoisen pulssin summaksi, jonka kesto on 2, ja vastaavasti negatiivisten arvojen ilmestyminen energiaspektrissä. Esimerkki jälkimmäisestä on esitetty kuvassa (funktioiden kuvaajat esitetään, kuten parillisille funktioille on tapana, vain niiden oikealla puolella). Riittävän laajennettujen signaalien ACF:t ovat yleensä kooltaan rajoitettuja (tutkitaan rajoitettuja datakorrelaatiovälejä T/2:sta T/2:een). ACF:n katkaisu on kuitenkin ACF:n kertominen suorakaiteen muotoisella valintapulssilla, jonka kesto on T, joka taajuusalueella heijastuu todellisen tehospektrin konvoluutiona vuorottelevan integraalisinifunktion sinc(t/2) kanssa. Toisaalta tämä aiheuttaa tehospektrin tiettyä tasoitusta, mikä on usein hyödyllistä esimerkiksi tutkittaessa signaaleja merkittävällä kohinatasolla. Mutta toisaalta energiahuippujen suuruuden merkittävä aliarviointi voi tapahtua, jos signaali sisältää harmonisia komponentteja, samoin kuin negatiivisten tehoarvojen esiintyminen huippujen ja hyppyjen reunaosissa. Esimerkki näiden tekijöiden ilmenemisestä on esitetty kuvassa. Kuva Signaalin energiaspektrin laskenta käyttämällä eripituisia ACF:itä. Kuten tiedetään, signaalin tehospektreillä ei ole vaihe-ominaiskäyrää ja niistä on mahdotonta rekonstruoida signaaleja. Tästä johtuen signaalien ACF:llä tehospektrien tilapäisenä esityksenä ei myöskään ole tietoa signaalien vaiheominaisuuksista ja signaalien rekonstruointi ACF:n avulla on mahdotonta. Samanmuotoisilla, ajallisesti siirtyneillä signaaleilla on sama ACF. Lisäksi erimuotoisilla signaaleilla voi olla samanlaiset ACF:t, jos niillä on samanlaiset tehospektrit. Kirjoitetaan yhtälö (6.3.1) uudelleen muotoon s(t) s(t-) dt = (1/2) S() S*() exp(j) d, ja korvataan arvo =0 tähän lausekkeeseen . Tuloksena oleva yhtälö on hyvin tunnettu ja sitä kutsutaan Parsevalin yhtälöksi s 2 (t) dt = (1/2) S() 2 d. Sen avulla voit laskea signaalin energian sekä signaalin kuvauksen aika- että taajuusalueella. Signaalin korrelaatioväli on numeerinen parametri ACF-leveyden ja signaaliarvojen merkittävän korrelaation asteen arvioimiseksi argumenteilla. Jos oletetaan, että signaalilla s(t) on suunnilleen tasainen energiaspektri arvolla W 0 ja ylärajataajuus enintään V (keskitetty suorakaiteen muotoinen pulssi, kuten signaali 1 kuvassa, jossa f V = 50 Hz yksipuolisessa esityksessä), niin signaalin ACF määräytyy lausekkeella: Kuva ω B s () = (W o /) in 0 cos() d = (Wo in /) sin (in )/(sisään). Signaalin korrelaatiovälin k katsotaan olevan ACF:n keskihuipun leveys alkaen

10 10 enintään nollaviivan ensimmäiseen ylitykseen asti. Tässä tapauksessa suorakaiteen muotoiselle spektrille, jonka ylärajataajuus ensimmäisessä nollapisteessä, vastaa sinc(в) = 0 kohdassa в =, mistä: к = / в =1/2f в. (6.3.4) Mitä korkeampi signaalispektrin ylärajataajuus, sitä pienempi on korrelaatioväli. Signaaleille, joiden katkaisu on tasainen ylärajataajuudella, parametrin b roolia on keskimääräinen spektrin leveys (signaali 2 kuvassa). Tilastollisen kohinan tehospektritiheys yksittäiselle mittaukselle on satunnaisfunktio W q () keskiarvolla W q () q 2, missä q 2 on kohinan varianssi. Rajassa, kun kohinan spektri jakautuu tasaisesti 0:sta, kohina ACF pyrkii arvoon B q () q 2 kohdassa 0, B q () 0 arvossa 0, ts. tilastollinen kohina ei korreloi (0:aan). Äärillisten signaalien ACF:n käytännön laskelmat rajoittuvat yleensä siirtoväliin = (0, (3-5) ), johon pääsääntöisesti on keskittynyt signaalien autokorrelaatiota koskeva päätieto. TCF:n spektritiheys voidaan saada samojen näkökohtien perusteella kuin AFC:lle tai suoraan kaavasta (6.3.1) korvaamalla signaalin S() spektritiheys toisen signaalin U() spektritiheydellä. : su ()= (1/2 ) S*() U() exp(j) d (6.3.5) Tai, kun signaalien järjestystä muutetaan: us ()= (1/2) U*() S () exp(j) d (6.3.5 ") Tulo S*()U() edustaa signaalien s(t) ja u(t) keskinäistä energiaspektriä W su (). Näin ollen U*() S() = W us (). Siksi, kuten ACF , ristikorrelaatiofunktio ja signaalien keskinäisen tehon spektritiheys on kytketty toisiinsa Fourier-muunnoksilla: B su () W su () W* us () (6.3.6) B us () W us () W* su (). (6.3 .6") Yleisessä tapauksessa, parillisten funktioiden spektrejä lukuun ottamatta, pariteetin noudattamatta jättämisen ehdosta CCF-funktioille seuraa, että keskinäiset energiaspektrit ovat kompleksisia funktioita: U() = A u () + j B u (), V() = A v () + j B v (). W uv = A u A v +B u B v +j(b u A v - A u B v) = Re W uv (w) + j Im W uv (), ja sisältävät tietyn vaiheen, joka on ominaista harmonisten komponenttien harmonisille komponenteille. VCF, johon muodostuu siirtymä CCF:n maksimiin. Kuvassa näkyy selvästi CCF:n muodostumisen piirteet käyttämällä esimerkkiä kahdesta samanmuotoisesta signaalista, jotka on siirretty suhteessa toisiinsa. Kuva VKF:n muodostuminen. Signaalien muoto ja niiden suhteellinen sijainti esitetään muodossa A. Signaalin s(t) spektrin moduuli ja argumentti esitetään muodossa B. Spektrimoduuli u(t) on identtinen moduulin S() kanssa. . Sama näkymä näyttää keskinäisen signaalin tehospektrin S()U*() moduulin. Kuten tiedetään, monimutkaisia ​​spektrejä kerrottaessa spektrien moduulit kerrotaan ja vaihekulmat lasketaan yhteen, kun taas konjugaattispektrillä U*() vaihekulma muuttuu etumerkiksi. Jos olet ensimmäinen, joka muodostaa -

11 11 CCF:ää (6.2.1) laskettaessa signaali s(t) sijoittuu ja ordinaatta-akselilla oleva signaali u(t-) on s(t:n edellä), jolloin vaihekulmat S() kasvavat kohti negatiiviset kulma-arvot taajuuden kasvaessa (ottamatta huomioon arvojen jaksollista nollausta 2:lla) ja vaihekulmat U*() absoluuttisina arvoina ovat pienempiä kuin vaihekulmat s(t) ja kasvavat (konjugaation vuoksi) kohti positiivisia arvoja. Spektrien kertomisen tulos (kuten näkyy kuvassa, kuva C) on kulma-arvojen U*() vähentäminen vaihekulmista S(), kun taas spektrin vaihekulmat S()U *() jäävät negatiivisten arvojen alueelle, mikä varmistaa koko VCF-funktion (ja sen huippuarvojen) siirtymisen nollan oikealle akselia pitkin tietyllä määrällä (identtisille signaaleille signaalit ordinaatilla). Kun signaalin u(t) alkusijaintia siirretään kohti signaalia s(t), vaihekulmat S()U*() pienenevät nolla-arvojen raja-arvoissa signaalien täydellisen kohdistuksen myötä. funktio B su (t) siirtyy nolla-arvoihin, raja-arvoon ennen siirtymistä ACF:ään (samanlaisille signaaleille s(t) ja u(t)). Kuten deterministisille signaaleille tiedetään, jos kahden signaalin spektrit eivät mene päällekkäin ja vastaavasti signaalien keskinäinen energia on nolla, tällaiset signaalit ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden. Energiaspektrien ja signaalien korrelaatiofunktioiden välinen yhteys osoittaa signaalien vuorovaikutuksen toisen puolen. Jos signaalien spektrit eivät mene päällekkäin ja niiden keskinäinen energiaspektri on nolla kaikilla taajuuksilla, niin kaikilla aikasiirtymillä suhteessa toisiinsa on myös niiden CCF nolla. Tämä tarkoittaa, että tällaiset signaalit ovat korreloimattomia. Tämä pätee sekä deterministisille että satunnaisille signaaleille ja prosesseille. Korrelaatiofunktioiden laskenta FFT:llä on erityisesti pitkille lukusarjoille menetelmä, joka on kymmeniä ja satoja kertoja nopeampi kuin peräkkäiset siirtymät aika-alueella suurilla korrelaatioväleillä. Menetelmän ydin seuraa kaavoista (6.3.2) ACF:lle ja (6.3.6) VCF:lle. Ottaen huomioon, että ACF voidaan pitää CCF:n erikoistapauksena samalle signaalille, harkitsemme laskentaprosessia käyttämällä esimerkkiä CCF:stä signaaleille x() ja y() näytteiden lukumäärällä K. Se sisältää: 1. Signaalien x() X () ja y() Y() FFT-spektrien laskeminen. Eri näytemäärillä lyhyempi rivi on täytetty nolilla suuremman rivin kokoon. 2. Tehotiheysspektrien W xy () = X*() Y() laskenta. 3. Käänteinen FFT W xy () B xy (). Huomioikaa joitakin menetelmän ominaisuuksia. Kuten tiedetään, käänteisellä FFT:llä lasketaan funktioiden x() 3 y() syklinen konvoluutio. Jos funktionäytteiden lukumäärä on yhtä suuri kuin K, funktiospektrien kompleksisten näytteiden lukumäärä on myös yhtä suuri kuin K, samoin kuin niiden tulon W xy () näytteiden lukumäärä. Vastaavasti näytteiden lukumäärä B xy () käänteisellä FFT:llä on myös yhtä suuri kuin K ja toistetaan syklisesti jaksolla, joka on yhtä suuri kuin K. Sillä välin täydellisten signaalien rivien lineaarisella konvoluutiolla kaavan (6.2.5) mukaisesti vain puolet VCF:stä on K pistettä ja täysi bilateraalinen koko on 2K pistettä. Näin ollen käänteisellä FFT:llä, kun otetaan huomioon konvoluution syklisyys, sen sivujaksot asetetaan päällekkäin CCF:n pääjakson kanssa, kuten tavallisessa kahden funktion syklisessä konvoluutiossa. Kuvassa on esimerkki kahdesta signaalista ja kuvan arvot. B1 lineaarinen konvoluutio, B2 FFT laajentamatta signaaleja nollien kanssa, B3 FFT laajentamalla signaaleja nollien kanssa. CCF:t lasketaan lineaarisella konvoluutiolla (B1xy) ja syklisellä konvoluutiolla FFT:n kautta (B2xy). Päällekkäisten sivujaksojen vaikutuksen eliminoimiseksi on tarpeen täydentää signaaleja nollalla, rajassa näytteiden lukumäärän kaksinkertaistumiseen asti, kun taas FFT-tulos (B3xy-kaavio kuvassa 6.3.5) toistaa täysin lineaarisen tuloksen. konvoluutio (ottaen huomioon näytteiden määrän kasvun normalisoinnin). Käytännössä signaalin laajennusnollien lukumäärä riippuu korrelaatiofunktion luonteesta. Nollien minimimääräksi katsotaan yleensä yhtä suuri kuin funktioiden merkittävä tietoosa, ts. järjestyksen (3-5) korrelaatiovälit.

12 12 s. KIRJALLISUUS 1. Baskakov S.I. Radiotekniikan piirit ja signaalit Oppikirja yliopistoille. - M. Higher School, Otnes R., Enokson L. Sovellettu aikasarjojen analyysi. M.: Mir, s. 25. Sergienko A.B. Digitaalinen signaalinkäsittely. / Oppikirja yliopistoille. SPb.: Peter, s. 33. Ayficher E., Jervis B. Digitaalinen signaalinkäsittely. Käytännön lähestymistapa. / M., "Williams", 2004, 992 Tekijän kotisivu ~ Luennot ~ Työpaja Huomatuista kirjoitusvirheistä, virheistä ja lisäysehdotuksista: Copyright 2008 Davydov A.V.

Osa 5 MENETELMÄT SPEKTRITIHEYSFUNKTION MÄÄRITTÄMISEKSI Spektritiheysfunktiot voidaan määrittää kolmella eri ekvivalentilla tavalla, joita käsitellään seuraavissa osissa: käyttämällä

Luento 6 PERIODISTISEN EI-SIINIVIRTA PIIRIT Suunnitelma Fourier-sarjan trigonometrinen muoto Fourier-sarjan kompleksimuodossa Kompleksinen taajuusspektri 3 Tehot ei-sinimuotoisissa virtapiireissä Kertoimet,

3 JOHDANTO Teknisissä ongelmissa käsitellyt fysikaaliset prosessit kuvataan useimmissa tapauksissa ajan funktioilla, joita kutsutaan prosessin realisaatioiksi. On fyysisiä ilmiöitä, tulevaa käyttäytymistä

43 Luento 4 PERIODISTINEN EI-SIINIVIRTA PIIRIT Fourier-sarjan trigonometrinen muoto Fourier-sarjan kompleksimuoto 3 Periodisia ei-sinifunktioita kuvaavat kertoimet 4 Johtopäätös

Pietarin valtion sähkötekninen yliopisto "LETI" Radiotekniikan teoreettisten perusteiden laitos DIGITAL SIGNAAL PROCESSING Aihe 1 Diskreetit signaalit A. B. Sergienko, 216 Diskreetti

7. Joitakin perusjärjestelmiä l:stä Diskreettiaikaisissa järjestelmissä tärkeä paikka on äärellisin aikavälein määritetyillä diskreeteillä signaaleilla. Tällaiset signaalit ovat -ulotteisia vektoreita avaruudessa

43 Luento 6 PERIODISTOISEN EI-SINISIDÄISEN VIRRAN PIIRIT Fourier-sarjan trigonometrinen muoto Fourier-sarjan monimutkainen muoto 3 Periodisia ei-sinimuotoisia funktioita kuvaavat kertoimet 4 Johtopäätös

SISÄLLYSLUETTELO FOURIER-SARJA 4 Jaksottaisen funktion käsite 4 Trigonometrinen polynomi 6 3 Ortogonaaliset funktiojärjestelmät 4 Trigonometriset Fourier-sarjat 3 5 Fourier-sarjat parillisille ja parittomille funktioille 6 6 Laajennus

3 Luento 4 PERIODISTINEN EI-SIINIVIRTA PIIRIT Suunnitelma Fourier-sarjan trigonometrinen muoto Fourier-sarjan kompleksinen muoto 3 Periodisia ei-sinifunktioita kuvaavat kertoimet 4 Johtopäätökset

Luento 4.9. Satunnaismuuttujien järjestelmät. Kahden satunnaismuuttujan järjestelmän (SDSV) jakaumafunktio. Toiminnon ominaisuudet 6.4. Satunnaismuuttujien järjestelmät Käytännössä kohtaamme usein kuvattuja ongelmia

Lukuvuoden syyslukukausi Aihe 3 EI-PERIOIDISTEN SIGNAALIEN HARMONINEN ANALYYSI Suorat ja käänteiset Fourier-muunnokset Signaalin spektriominaisuudet Amplitudi-taajuus ja vaihe-taajuusspektrit

Laboratoriotyöt 4 PERIODISTEN EI-SIINIVÄRINTÖJEN SPEKTRAALIKOOSTUMUKSEN TUTKIMUS 4 Fourier-sarjan trigonometrinen muoto Jos jaksollinen ei-sinimuotoinen funktio täyttää Dirichlet-ehdot,

Luento Numerosarja Konvergenssin merkit Numerosarjat Konvergenssin merkit Lukusarjan + + + + ääretöntä lauseketta, joka koostuu äärettömän ykkösen termeistä, kutsutaan numerosarjaksi Numerot,

Luennon aihe: signaalit. Signaalien määrittely ja luokittelu Radiolaitteissa esiintyy erityisiä sähköprosesseja. Ymmärtääksesi tämän erityispiirteen sinun tulee ensin

Www.vntr.ru 6 (34), www.ntgcom.com UDC 57.443+57.8 SPEKTRAALIVUODON VAIKUTUS KATKETUN HARMONISEN SIGNAALIN AUTOKORRELAATIOTOIMINNAN KÄYTTÖÖN G.S. Hanyan Central Institute of Aviation

Aihe 3 EI-PERIODIISTEN SIGNAALIEN HARMONINEN ANALYYSI Suorat ja käänteiset Fourier-muunnokset Signaalin spektriominaisuudet Amplitudi-taajuus ja vaihe-taajuusspektrit Spektriominaisuudet

54 Luento 5 FOURIER-MUUNTO JA SPEKTRALIMENETELMÄ SÄHKÖPIIRIEN ANALYYSIIN Suunnitelma Aperiodisten funktioiden spektrit ja Fourier-muunnos Joitakin Fourier-muunnoksen ominaisuuksia 3 Spektrimenetelmä

4.4 Yksinkertaisimpien värähtelyjen spektrianalyysi. Suorakulmainen pulssi / / d, / s, / sin sin Yksittäisen pulssin spektritiheys osuu jaksollisen sekvenssin spektriviivojen verhokäyrään

1. Determinististen signaalien perusominaisuudet Tekniikassa termi "signaali" tarkoittaa suuretta, joka jollain tavalla heijastaa fyysisen järjestelmän tilaa. Radiotekniikassa signaalia kutsutaan

Luento 8 33 YKSIULOTTEISET KIINTEÄT JÄRJESTELMÄT FOURIER-MUUNNON SOVELLUS 33 Signaalien ja järjestelmien kuvaus Signaalien kuvaus Determinististen signaalien kuvaamiseen käytetään Fourier-muunnosta: it

Satunnaissekvenssien spektrianalyysi DFT-menetelmällä Satunnaissignaalien spektrimittauksissa päätavoitteena on määrittää tehospektritiheys (PSD) (Liite, kohta 4).

Metodologiset materiaalit esimerkkejä CD-lipuista ja RGR-vaihtoehdoista kurssille “Digitaalisen signaalinkäsittelyn matemaattiset menetelmät” Väliohjaus 1 1. Hajoa vektori (,1, 1 vektoreiksi 1) (1,2,1), (,2,3 ) 1,

MOSKOVAN VALTION TEKNINEN YLIOPISTO SIVILILILILAILUA A.N. DENISENKO, V.N. ISAKOV METODOLOGISET OHJEET laboratoriotyön suorittamiseen PC:llä tieteenalalla "SÄHKÖPIIRIEN TEORIA"

54 Luento 5 FOURIER-MUUNTO JA SPEKTRALIMENETELMÄ SÄHKÖPIIRIEN ANALYYSIIN Suunnitelma Aperiodisten funktioiden ja Fourier-muunnoksen spektrit 2 Fourier-muunnoksen joitakin ominaisuuksia 3 Spektrimenetelmä

Luento TUNNUSOMAINEN FUNKTIO LUENTON TARKOITUS: rakentaa menetelmä satunnaismuuttujien funktioiden linearisointiin; esitellä kompleksisen satunnaismuuttujan käsite ja saada sen numeeriset ominaisuudet; määrittää ominaisuus

Fourier-muunnos optiikassa Matematiikassa on todistettu, että tietyt vaatimukset täyttävä jaksollinen funktio () jaksolla T voidaan esittää Fourier-sarjalla: a a cos n b sn n, missä / n, a

4. Ei-harmonisten vaikutusten piirien analyysi. Melkein mikä tahansa todellinen värähtely voidaan hajottaa harmonisten värähtelyjen joukoksi. Superposition periaatteen mukaan kunkin harmonisen toiminta

FSBEI HPE "Omskin valtion teknillinen yliopisto" OSA II JATKUVAT LINEAARISET AUTOMAATTISET OHJAUSJÄRJESTELMÄT Luento 4. DYNAAMISET LINKIT. YLEISET KÄSITTEET, AJAN OMINAISUUDET JA TAAJUUS

Skalaariset hypersatunnaismuuttujat 4 OSA I TEORIAN PERUSTEET LUKU HYPERRANDOMIA TAPAHTUMAT JA MÄÄRÄT Käsitteet hypersatunnaistapahtumasta ja hypersatunnaismuuttujasta esitellään. Useita ominaisuuksia ja parametreja on ehdotettu

Tehtävä 1. Määritetään alkutiedot: Laajennusväli on [-τ/2;τ/2]. Spektrikertoimien lukumäärä n=5. Signaalin amplitudi: Tulosignaali: Kuva. 1. Signaalin aikakaavio. 1 1. Kirjoitetaan kaavat

43 Luento 5 FOURIER-MUUNTO JA SPEKTRALIMENETELMÄ SÄHKÖPIIRIEN ANALYYSIIN Suunnitelma Aperiodisten funktioiden spektrit ja Fourier-muunnos Joitakin Fourier-muunnoksen ominaisuuksia 3 Spektrimenetelmä

3.4. ENNUSTEMALLIEN OTEARVOJEN TILASTOTIEDOT Tähän asti olemme pohtineet menetelmiä kiinteiden prosessien ennustemallien rakentamiseksi ottamatta huomioon yhtä hyvin tärkeää ominaisuutta.

LUENTO Viestit, signaalit, häiriöt satunnaisilmiöinä Satunnaismuuttujat, vektorit ja prosessit 4 SIGNAALIT JA HÄIRIÖT RTS:ssä SATUNNAISILMIÖISSÄ Kuten edellä todettiin, RTS:n teorian pääongelma on

Fourier-muunnos optiikassa Matematiikassa on todistettu, että mikä tahansa jaksollinen funktio () jaksolla T voidaan esittää Fourier-sarjalla: a a cos b s missä / a cos d b s d / / a ja b ovat Fourier-sarjan kertoimet

Signaalien spektriesitys Ph.D., apulaisprofessori Moskovan valtionyliopisto Laskennallisen matematiikan ja matematiikan laitos Matemaattisten ennustusmenetelmien laitos Signaalien spektriesitys Luento 4 Moskova,

Tilastollinen radiofysiikka ja informaatioteoria Luento 1. 14. Sovitetun suodattimen synteesi. Tarkastellaan lineaarista järjestelmää, jonka tuloon syötetään hyötysignaalin s t ja kohinan n t additiivinen seos: t =

Luento 5. 8.3. ITTSÄVÄRITYSTEN ANALYYSI HARMONINEN LINEARISAATIO MENETELMÄLLÄ 8.3.. Tehtävän lause Tarkastellaan suljettua järjestelmää, jossa on yksi epälineaarinen elementti. F W s x Kuva. Vapaata liikkuvuutta tutkitaan

Luku 4. Diskreetti Fourier-muunnos 4.. Diskreettiaikainen Fourier-sarja (DTFS) Jaksottaiselle signaalille, jonka jakso on xt (), Fourier-sarja sisältää yleensä äärettömän määrän termejä: missä ovat kertoimet

Luento KAHDEN SATUNNAISMUUTTAJAN JÄRJESTELMÄN NUMEERISET OMINAISUUDET - ULOTTEINEN SATUNNAISVEKTORI LUENTON TARKOITUS: määrittää kahden satunnaismuuttujan järjestelmän numeeriset ominaisuudet: alku- ja keskimomenttien kovarianssi

Digitaalinen signaalinkäsittely; luento 7. maaliskuuta 07 MIPT Z-muunnos on yksi matemaattisista menetelmistä, jotka on kehitetty erityisesti diskreettien ja digitaalisten järjestelmien analysointiin ja suunnitteluun 45 Lineaarinen

Laboratoriotyöt 7 Digitaalinen spektrianalyysi: periodogrammi- ja korrelogrammimenetelmät Työn tarkoitus: tutkia ohjelmistojen toteutusmenetelmiä digitaalisen spektrin klassisten versioiden MATLAB-järjestelmässä

5 UDC 656.5, 6.39.8 A. V. VOLYNSKAYA DISKREEETIN SIGNAALIN MUUNNON OMINAISUUDET DIGITAALISIIRTOKANAVILLA On osoitettu, että mielivaltaisella diskreettien signaaliarvojen valinnalla (esim.

Ikkunafunktioiden rakentaminen (jatkoa kohdasta 4) Ikkunafunktion valinta on tärkeä, jotta voidaan saada arvioita tutkittavan signaalin parametreista fluktuaatiokohinan läsnä ollessa. Kun havaitaan suuria signaaleja

Osa 4 SATUNNAISPROSESSIEN SPEKTRAALIHAJOTUKSET 41 FOURIER STIELTJESIN INTEGRAALIT Satunnaisfunktioiden spektrilaajennuksiin käytetään Stieltjes-integraalia, joten esitämme määritelmän ja joitakin ominaisuuksia.

Luento 11 Jatkuvien viestien vastaanotto. Melunsietokriteerit Sanoma edustaa yleisessä tapauksessa jotain jatkuvaa prosessia bt, jota voidaan pitää yleisen satunnaisen toteutuksena.

SATUNNAISILMIÖIDEN STATISTISET MALLIT Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumafunktiot Fysikaalisen kokeen yksinkertaisin malli riippumattomien kokeiden sarja (testit

LUENTO. Kompleksisen signaalin amplitudin estimointi. Arvio signaalin viiveestä. Satunnaisvaiheisen signaalin taajuuden estimointi. Satunnaisvaiheisen signaalin viiveajan ja taajuuden yhteinen estimointi.

3 Satunnaisprosessit automaattisissa ohjausjärjestelmissä 3 Johdanto Järjestelmiä, joissa signaaleille on tunnusomaista satunnaiset toiminnot ja prosessit, kutsutaan järjestelmiksi, joissa on satunnaisia ​​signaaleja tai stokastisia

Luku 8 Funktiot ja kaaviot Muuttujat ja niiden väliset riippuvuudet. Kahta suurea kutsutaan suoraan verrannollisiksi, jos niiden suhde on vakio, eli jos =, missä on vakioluku, joka ei muutu muutosten myötä

Liittovaltion osavaltion koulutusbudjetti korkea-asteen ammatillisen koulutuksen laitos Volgan alueen osavaltion televiestintä- ja informatiikkayliopisto SARS-osasto Tehtävä ja metodologinen

Luento 10. Schrödingerin algoritmi stationaaristen tilojen termien ja orbitaalien määrittämiseen 1 Stationaaritilat Jos järjestelmän tila ei muutu ajan myötä ja suoritetaan kokonaissumman vakioarvolla

MENETELMÄOHJEET AINEEN "SATUNNAISPROSESSIT RADIOTUNnittelussa" OPISKELUON RYHMÄN VDBV-6-14 OPPILASILLE Lähteet 1. Radiotekniikan laitteiden ja järjestelmien tilastollinen analyysi ja synteesi:

Aihe 8 LINEAARISET DISKREETIJÄRJESTELMÄT Diskreetin järjestelmän käsite Menetelmät lineaaristen diskreettien järjestelmien kuvaamiseen: differentiaaliyhtälö, siirtofunktio, impulssivaste, taajuudensiirtofunktio

Luento 6 (s. 358-36) Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) Suora Z-muunnos Myötä- ja käänteisen diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä Tarkastellaan Fourier-muunnoksen laskenta-algoritmia

Vaihtoehto 8 Etsi funktion määritelmäalue: y sin Tämän funktion määritelmäalue määräytyy kahdella epäyhtälöllä: ja sin Toisesta epäyhtälöstä seuraa, että epäyhtälö k π k+ on täytettävä

Spektrianalyysi ja synteesi Digitaalinen audio ja video Luento 2 2 Fourier-analyysi ja synteesi Prosessia, jossa monimutkainen jaksollinen signaali hajotetaan yksinkertaisiksi harmonisiksi komponenteiksi kutsutaan Fourier-analyysiksi tai

Signaalit ja lineaariset järjestelmät. Signaalien korrelaatio

Aihe 6. Signaalikorrelaatio

Äärimmäinen pelko ja äärimmäinen rohkeuden kiihko häiritsevät vatsaa ja aiheuttavat ripulia.

Michel Montaigne. Ranskalainen lakimies-ajattelija, 1500-luku.

Tämä on numero! Näillä kahdella funktiolla on 100 % korrelaatio kolmannen kanssa ja ne ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden. No, Kaikkivaltialla oli vitsejä maailman luomisen aikana.

Anatoli Pyshmintsev. Novosibirskin Ural-koulun geofyysikko, 1900-luku.

1. Signaalien autokorrelaatiofunktiot. Autokorrelaatiofunktioiden (ACF) käsite. Aikarajoitettujen signaalien ACF. Jaksottaisten signaalien ACF. Autokovarianssifunktiot (ACF). Erillisten signaalien ACF. Meluisten signaalien ACF. Koodisignaalien ACF.

2. Signaalien ristikorrelaatiofunktiot (CCF). Ristikorrelaatiofunktio (CCF). Kohinaisten signaalien ristikorrelaatio. Diskreettien signaalien CCF Jaksottaisten signaalien estimointi kohinassa. Keskinäisten korrelaatiokertoimien funktio.

3. Korrelaatiofunktioiden spektritiheydet. ACF:n spektritiheys. Signaalin korrelaatioväli. VKF:n spektritiheys. Korrelaatiofunktioiden laskenta FFT:llä.

Johdanto

Korrelaatio ja sen erikoistapaus keskitetyille signaaleille - kovarianssi - on signaalianalyysimenetelmä. Esittelemme yhden menetelmän käyttövaihtoehdoista. Oletetaan, että on olemassa signaali s(t), joka voi (tai ei) sisältää jonkin jonon x(t), jonka pituus on T äärellinen ja jonka ajallinen sijainti kiinnostaa meitä. Tämän sekvenssin etsimiseksi T-pituisesta aikaikkunasta, joka liukuu signaalia s(t) pitkin, lasketaan signaalien s(t) ja x(t) skalaaritulot. Siten "sovitamme" halutun signaalin x(t) signaaliin s(t) liukuen sen argumenttia pitkin ja skalaaritulon arvolla arvioimme signaalien samankaltaisuuden astetta vertailupisteissä.

Korrelaatioanalyysi mahdollistaa sen, että signaaleissa (tai signaalien sarjassa) voidaan määrittää tietty yhteys signaaliarvojen muutosten välillä riippumattomassa muuttujassa, eli kun yhden signaalin suuret arvot (suhteellinen) keskimääräisiin signaaliarvoihin) liittyvät toisen signaalin suuriin arvoihin (positiivinen korrelaatio), tai päinvastoin, yhden signaalin pienet arvot liittyvät toisen signaalin suuriin arvoihin (negatiivinen korrelaatio) tai kaksi signaalia eivät liity millään tavalla toisiinsa (nollakorrelaatio).

Signaalien toiminnallisessa avaruudessa tämä yhteysaste voidaan ilmaista korrelaatiokertoimen normalisoituina yksiköinä, ts. signaalivektorien välisen kulman kosinissa, ja vastaavasti ottaa arvot 1:stä (signaalien täydellinen yhteensattuma) -1 (täysin vastakohta) eikä se riipu mittayksiköiden arvosta (asteikko) .

Autokorrelaatioversiossa käytetään samanlaista tekniikkaa signaalin s(t) skalaaritulon määrittämiseen omalla kopiollaan, joka liukuu argumenttia pitkin. Autokorrelaation avulla voit arvioida nykyisten signaalinäytteiden keskimääräisen tilastollisen riippuvuuden niiden aikaisemmista ja myöhemmistä arvoista (signaaliarvojen ns. korrelaatiosäde) sekä tunnistaa ajoittain toistuvien elementtien läsnäolon signaalissa.

Korrelaatiomenetelmät ovat erityisen tärkeitä satunnaisten prosessien analysoinnissa, jotta voidaan tunnistaa ei-satunnaisia ​​komponentteja ja arvioida näiden prosessien ei-satunnaisia ​​parametreja.

Huomaa, että termien "korrelaatio" ja "kovarianssi" suhteen on jonkin verran sekaannusta. Matemaattisessa kirjallisuudessa termiä "kovarianssi" käytetään keskitettyihin funktioihin ja "korrelaatiota" mielivaltaisiin funktioihin. Teknisessä kirjallisuudessa ja erityisesti signaaleja ja niiden käsittelymenetelmiä käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään usein täysin päinvastaista terminologiaa. Tällä ei ole perustavanlaatuista merkitystä, mutta kirjallisiin lähteisiin tutustuessa kannattaa kiinnittää huomiota näiden termien hyväksyttyyn tarkoitukseen.

Signaalin korrelaatiofunktio on tilapäinen ominaisuus

antaa käsityksen signaalin muutosnopeudesta ajan kuluessa sekä signaalin kestosta hajottamatta sitä harmonisiksi komponenteiksi.

On olemassa autokorrelaatio- ja ristikorrelaatiofunktioita. Deterministiselle signaalille f(t) autokorrelaatiofunktio saadaan kaavalla

missä on signaalin aikasiirtymän suuruus.

luonnehtii signaalin f (t) yhteysastetta (korrelaatiota) sen kanssa

kopio, joka on siirretty määrällä aika-akselia pitkin. Muodostetaan autokorrelaatiofunktio (ACF) suorakaiteen muotoiselle pulssille f (t). Signaalia siirretään kohti etupuolta, kuten kuvasta näkyy. 6.25.

Kaaviossa jokaisella arvolla on oma tulonsa ja alueensa funktion kaavion alla. Numeerinen

tällaisten alueiden arvot vastaavalle τ:lle antavat funktion ordinaatit

Kun τ kasvaa, se pienenee (ei välttämättä monotonisesti) ja pienenee

Eli signaalin kestoa suurempi on nolla.

on myös jaksollinen funktio jaksolla T.

Tarkastellaan autokorrelaatiofunktion pääominaisuuksia:

1. ACF on parillinen funktio, eli funktio pienenee kasvaessaan.

2. ACF saavuttaa maksimiarvon klo , koska mikä tahansa signaali korreloi täysin itsensä kanssa. Tässä tapauksessa ACF:n maksimiarvo on yhtä suuri kuin energia

Mitä laajempi signaalispektri, sitä pienempi on korrelaatioväli, ts. siirtymän suuruus, jonka sisällä korrelaatiofunktio on eri kuin nolla. Vastaavasti mitä suurempi signaalin korrelaatioväli on, sitä kapeampi sen spektri.

Korrelaatiofunktiota voidaan käyttää myös kahden eri signaalin f 1 (t) ja f 2 (t) välisen yhteysasteen arvioimiseen ajan myötä.

Tässä tapauksessa sitä kutsutaan ristikorrelaatiofunktioksi (MCF) ja se määritellään lausekkeella:

Ristikorrelaatiofunktio ei välttämättä ole tasainen τ:n suhteen eikä välttämättä saavuta maksimiarvoa at. CCF:n rakenne kahdelle kolmiomaiselle signaalille f 1 (t) ja f 2 (t) on esitetty kuvassa. 6.26. Vaihdossa

signaali f 2 (t) vasemmalle (t > 0, kuva 6.26, a) signaalin korrelaatiofunktio ensin kasvaa, sitten laskee nollaan at. Kun signaali f 2 (t) siirtyy oikealle (t< 0, рис. 6.26, б) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается нессиметричная относительно оси ординат ВКФ , показанная на рис. 6.26, в.

f1(t)

f2(t)

0 T t

0 t - T T

f 1 (t) × f 2 (t + t)

f1(t)

f2(t)

0 T

f 1 (t) × f 2 (t - t)

6.9 Moduloitujen signaalien käsite. Amplitudimodulaatio

Korkeataajuisia signaaleja käytetään tiedon siirtämiseen etäisyyden yli. Lähetetyt tiedot on upotettava tavalla tai toisella suurtaajuiseen värähtelyyn, jota kutsutaan kantoaaltoaaltoiksi. valinta cha-

Kantoaaltosignaalin arvo ω riippuu monista tekijöistä, mutta joka tapauksessa ω

on oltava paljon suurempi kuin lähetetyn viestin spektrin suurin taajuus, ts.

Kantoaallon luonteesta riippuen erotetaan kaksi modulaatiotyyppiä:

– jatkuva – harmonisen kantoaallon kanssa jatkuva ajassa;

– pulssi - kun kantoaalto on jaksollisen pulssisarjan muodossa.

Signaalia kuljettava informaatio voidaan esittää muodossa

Jos ja ovat vakioarvoja, tämä on yksinkertainen harmoninen värähtely, joka ei kuljeta tietoa. Jos heidät pakotetaan vaihtamaan viestin lähettämiseksi, värähtely moduloituu.

Jos A (t) muuttuu, tämä on amplitudimodulaatiota, jos kulma on kulma. Kulmamodulaatio on jaettu kahteen tyyppiin: taajuus (FM) ja vaihe (PM).

Siitä lähtien ja ovat hitaasti vaihtelevia ajan funktioita. Sitten voidaan olettaa, että minkä tahansa tyyppiselle modulaatiolle signaaliparametrit

(1) (amplitudi, vaihe ja taajuus) muuttuvat niin hitaasti, että yhden jakson sisällä suurtaajuista värähtelyä voidaan pitää harmonisena. Tämä lähtökohta on signaalien ominaisuuksien ja niiden spektrien taustalla.

Amplitudimodulaatio (AM). AM:llä kantoaaltosignaalin amplitudiverhokäyrä muuttuu lain mukaan, joka on sama kuin lähetetyn viestin, taajuuden muutoslakiei muutu, ja alkuvaiheessavoi vaihdella modulaation alkamishetkestä riippuen. Yleinen lauseke (6.22) voidaan korvata lausekkeella

Graafinen esitys amplitudimoduloidusta signaalista on esitetty kohdassa. 6.27. Tässä S(t) on lähetetty jatkuva viesti, kantoaallon harmonisen suurtaajuisen signaalin amplitudi. Kirjekuori A (t) muuttuu viestin toistavan lain mukaan

S(t).

Korrelaation käsite tarkoittaa samankaltaisuutta. Signaalikorrelaatiofunktio on funktio ja sen antaa

missä τ on signaalin aikasiirtymä.

Kun lauseke (2.65) saa muodon

missä E on signaalin energia. Siten nollassa aikasiirrossa korrelaatiofunktio on yhtä suuri kuin signaalin energia.

Korrelaatiofunktion (2.65) lisäksi on olemassa keskinäinen korrelaatiofunktio, joka kuvaa kahden signaalin arvojen keskinäistä suhdetta ja määräytyy lausekkeella:

Kun U1(t) ja U2(t) ovat sama signaali U(t), niin ristikorrelaatio- ja korrelaatiofunktiot ovat samat.

Korrelaatiofunktio saa maksimiarvon vain kohdassa . Kahden identtisen signaalin ristikorrelaatiofunktio saavuttaa myös maksiminsa kohdassa . Eri signaaleilla U1(t) ja U2(t) funktion maksimiarvo ei välttämättä saavuta . Esimerkiksi kosiniaallon ristikorrelaatiofunktiolla on maksimiarvo .

Tarkastellaan tyypillisten signaalien korrelaatiofunktioita.

Neliöaaltovideosignaali ja sen korrelaatiofunktio on esitetty kuvassa. 2.24.

Jaksottaisen videosignaalin korrelaatiofunktio jakson T kanssa perustuu (2.66):een:

(2.67)

Harmonisen signaalin korrelaatiofunktio on yhtä suuri kuin:

Signaali ja sen korrelaatiofunktio on esitetty kuvassa 2.25.

Riisi. 2.25. Harmoninen signaali (a) ja sen korrelaatiofunktio (b).

Kahden saman taajuuden harmonisen signaalin ristikorrelaatiofunktio on muotoa:

(2.69)

Jos ja , niin ristikorrelaatiofunktio (2.68) on yhtä suuri kuin harmonisen signaalin korrelaatiofunktio (2.69).

Kahden eri taajuisen harmonisen signaalin ristikorrelaatiofunktio on nolla. Tästä johtuen eri taajuuksilla olevat harmoniset signaalit ovat korreloimattomia (ei samanlaisia) keskenään.

Radiotekniikan kehityksen alkuvaiheessa kysymys parhaiden signaalien valitsemisesta tiettyihin sovelluksiin ei ollut kovin kiireellinen. Tämä johtui toisaalta lähetettyjen viestien suhteellisen yksinkertaisesta rakenteesta (lennätinpaketit, radiolähetykset); toisaalta monimutkaisten signaalien käytännön toteutus yhdistettynä niiden koodaukseen, modulointiin ja käänteiseen muuntamiseen viestiksi laitteiden kanssa osoittautui vaikeaksi toteuttaa.

Tällä hetkellä tilanne on muuttunut radikaalisti. Nykyaikaisissa radioelektronisissa järjestelmissä signaalien valintaa ei sanele ensisijaisesti niiden generoinnin, muuntamisen ja vastaanoton tekninen mukavuus, vaan mahdollisuus ratkaista järjestelmän suunnittelussa esitetyt ongelmat optimaalisesti. Ymmärtääksesi, kuinka tarve signaaleille, joilla on erityisesti valitut ominaisuudet, syntyy, harkitse seuraavaa esimerkkiä.

Aikasiirrettyjen signaalien vertailu.

Siirrytään yksinkertaistettuun ajatukseen pulssitutkan toiminnasta, joka on suunniteltu mittaamaan etäisyyttä kappaleeseen. Tässä mittauskohteen tiedot sisältyvät arvoon - mittauksen ja vastaanotettujen signaalien väliseen aikaviiveeseen. Luotavien ja vastaanotettujen signaalien muodot ovat samat kaikilla viiveillä.

Etäisyysmittaukseen tarkoitetun tutkasignaalinkäsittelylaitteen lohkokaavio voi näyttää kuvan 2 mukaiselta. 3.3.

Järjestelmä koostuu joukosta elementtejä, jotka viivästävät "referenssi" lähetettyä signaalia tietyn kiinteän ajanjakson ajan

Riisi. 3.3. Laite signaalin viiveajan mittaamiseen

Viivästetyt signaalit syötetään yhdessä vastaanotetun signaalin kanssa vertailulaitteisiin, jotka toimivat periaatteen mukaisesti: lähtösignaali ilmestyy vain, jos molemmat tulovärähtelyt ovat "kopioita" toisistaan. Kun tiedät sen kanavan numeron, jossa määritetty tapahtuma tapahtuu, voit mitata viiveen ja siten etäisyyden kohteeseen.

Tällainen laite toimii sitä tarkemmin, mitä enemmän signaali ja sen ajassa siirretty "kopio" eroavat toisistaan.

Siten olemme saaneet laadullisen "käsityksen" siitä, mitä signaaleja voidaan pitää "hyvinä" tietyssä sovelluksessa.

Siirrytään asetetun ongelman täsmälliseen matemaattiseen muotoiluun ja osoitetaan, että tämä ongelmaalue liittyy suoraan signaalien energiaspektrien teoriaan.

Signaalin autokorrelaatiotoiminto.

Signaalin ja sen aikasiirretyn kopion välisen eron kvantifioimiseksi on tapana ottaa käyttöön signaalin autokorrelaatiofunktio (ACF), joka on yhtä suuri kuin signaalin ja kopion skalaaritulo:

Seuraavassa oletetaan, että tutkittavalla signaalilla on ajallisesti lokalisoitu pulssimerkki, joten muotoa (3.15) oleva integraali on varmasti olemassa.

On heti selvää, että kun autokorrelaatiofunktio tulee yhtä suureksi kuin signaalienergia:

Yksi ACF:n yksinkertaisimmista ominaisuuksista on sen pariteetti:

Todellakin, jos muutamme muuttujia integraalissa (3.15), niin

Lopuksi autokorrelaatiofunktion tärkeä ominaisuus on seuraava: minkään aikasiirtymän arvon ACF-moduuli ei ylitä signaalienergiaa:

Tämä tosiasia seuraa suoraan Cauchyn ja Bunyakovskyn epätasa-arvosta (katso luku 1):

Joten ACF on esitetty symmetrisellä käyrällä, jonka keskimaksimi on aina positiivinen. Lisäksi signaalin tyypistä riippuen autokorrelaatiofunktiolla voi olla joko monotonisesti laskeva tai värähtelevä luonne.

Esimerkki 3.3. Etsi suorakaiteen muotoisen videopulssin ACF.

Kuvassa Kuvassa 3.4a on suorakaiteen muotoinen videopulssi, jonka amplitudi ja kesto on U. Sen "kopio" näkyy myös tässä, siirrettynä ajassa kohti viivettä . Integraali (3.15) lasketaan tässä tapauksessa yksinkertaisesti graafisen konstruktion perusteella. Itse asiassa tulo ja ja ovat nollasta poikkeavat vain sillä aikavälillä, jolloin signaalin päällekkäisyyttä havaitaan. Kuvasta 3.4, on selvää, että tämä aikaväli on yhtä suuri, jos siirto ei ylitä pulssin kestoa. Näin ollen tarkasteltavalle signaalille

Tällaisen funktion kaavio on kuvassa 1 esitetty kolmio. 3.4, b. Kolmion pohjan leveys on kaksi kertaa pulssin kesto.

Riisi. 3.4. Suorakaiteen muotoisen videopulssin ACF:n löytäminen

Esimerkki 3.4. Etsi suorakaiteen muotoisen radiopulssin ACF.

Harkitsemme muodon mukaista radiosignaalia

Tietäen etukäteen, että ACF on parillinen, lasketaan integraali (3.15), asetus . Jossa

minne pääsemme helposti

Luonnollisesti kun arvo tulee yhtä suureksi kuin tämän pulssin energia (katso esimerkki 1.9). Kaava (3.21) kuvaa suorakaiteen muotoisen radiopulssin ACF-arvoa kaikille sisällä oleville siirtymille. Jos siirron itseisarvo ylittää pulssin keston, niin autokorrelaatiofunktio katoaa samalla tavalla.

Esimerkki 3.5. Määritä suorakaiteen muotoisten videopulssien sekvenssin ACF.

Tutkassa käytetään laajalti signaaleja, jotka ovat samanmuotoisia pulssipaketteja, jotka seuraavat toisiaan samalla aikavälillä. Tällaisen purskeen havaitsemiseksi sekä sen parametrien, esimerkiksi sen sijainnin, mittaamiseksi luodaan laitteita, jotka toteuttavat laitteistoalgoritmeja ACF:n laskemiseksi.

Riisi. 3.5. Kolmen identtisen videopulssin paketin ACF: a - pulssien paketti; b - ACF-kaavio

Kuvassa 3.5c esittää paketin, joka koostuu kolmesta identtisestä suorakaiteen muotoisesta videopulssista. Sen kaavalla (3.15) laskettu autokorrelaatiofunktio on myös esitetty tässä (kuva 3.5, b).

On selvästi nähtävissä, että maksimi ACF saavutetaan. Jos viive on kuitenkin sekvenssijakson monikerta (tapauksessamme klo), havaitaan ACF:n sivukeiloja, jotka ovat korkeudeltaan verrattavissa pääkeilaan. Siksi voimme puhua tämän signaalin korrelaatiorakenteen tietystä epätäydellisyydestä.

Äärettömän laajennetun signaalin autokorrelaatiofunktio.

Jos on tarpeen ottaa huomioon ajallisesti rajoittamattoman kestoisia jaksollisia sekvenssejä, signaalien korrelaatioominaisuuksien tutkimista on muutettava jonkin verran.

Oletetaan, että tällainen sekvenssi saadaan jostain aikalokalisoidusta, ts. pulssisignaalista, kun jälkimmäisen kesto pyrkii äärettömyyteen. Välttääksemme tuloksena olevien lausekkeiden poikkeamisen, määrittelemme ionisen ACF:n signaalin ja sen kopion skalaaritulon keskiarvoksi:

Tällä lähestymistavalla autokorrelaatiofunktio tulee yhtä suureksi kuin näiden kahden signaalin keskimääräinen keskimääräinen teho.

Jos esimerkiksi haluat löytää ACF:n ajallisesti rajoittamattomalle kosiniaaltolle, voit käyttää kaavaa (3.21), joka on saatu kestoiselle radiopulssille, ja siirtyä sitten rajaan, kun otetaan huomioon määritelmä (3.22). Tuloksena saamme

Tämä ACF on itsessään jaksollinen funktio; sen arvo at on yhtä suuri kuin

Signaalin energiaspektrin ja sen autokorrelaatiofunktion välinen suhde.

Tämän luvun aineistoa tutkiessaan lukija saattaa ajatella, että korrelaatioanalyysimenetelmät toimivat erikoistekniikoina, joilla ei ole mitään yhteyttä spektrihajotelmien periaatteisiin. Se ei kuitenkaan ole. On helppo osoittaa, että ACF:n ja signaalin energiaspektrin välillä on läheinen yhteys.

Todellakin, kaavan (3.15) mukaisesti ACF on skalaaritulo: Tässä symboli tarkoittaa signaalin aikasiirrettyä kopiota ja ,

Kääntyen yleistettyyn Rayleigh-kaavaan (2.42), voimme kirjoittaa yhtälön

Aikasiirretyn signaalin spektritiheys

Siten päästään tulokseen:

Spektritiheysmoduulin neliö, kuten tiedetään, edustaa signaalin energiaspektriä. Joten energiaspektri ja autokorrelaatiofunktio liittyvät Fourier-muunnoksen avulla:

On selvää, että on myös käänteinen suhde:

Nämä tulokset ovat pohjimmiltaan tärkeitä kahdesta syystä. Ensinnäkin on mahdollista arvioida signaalien korrelaatio-ominaisuudet perustuen niiden energian jakautumiseen spektrin yli. Mitä leveämpi signaalin taajuuskaista on, sitä kapeampi on autokorrelaatiofunktion pääkeila ja sitä täydellisempi signaali on sen alkamishetken tarkan mittaamisen kannalta.

Toiseksi kaavat (3.24) ja (3.26) osoittavat tavan määrittää kokeellisesti energiaspektri. Usein on kätevämpää hankkia ensin autokorrelaatiofunktio ja sitten Fourier-muunnoksen avulla löytää signaalin energiaspektri. Tämä tekniikka on yleistynyt signaalien ominaisuuksien tutkimisessa nopeilla tietokoneilla reaaliajassa.

Relaatio sovtk Tästä seuraa, että korrelaatioväli

osoittautuu pienemmäksi, mitä korkeampi signaalispektrin ylärajataajuus.

Signaalin autokorrelaatiofunktion muodolle asetetut rajoitukset.

Autokorrelaatiofunktion ja energiaspektrin välillä löydetty yhteys mahdollistaa mielenkiintoisen ja ensi silmäyksellä ei-ilmeisen kriteerin tietyn korrelaatioominaisuudet omaavan signaalin olemassaololle. Tosiasia on, että minkä tahansa signaalin energiaspektrin on määritelmän mukaan oltava positiivinen [katso. kaava (3.25)]. Tämä ehto ei täyty minkään ACF-valinnan yhteydessä. Esimerkiksi jos otamme

ja laske sitten vastaava Fourier-muunnos

Tämä vuorotteleva funktio ei voi edustaa minkään signaalin energiaspektriä.