Askelmatriisi. Matrix sijoitus. Matriisien tyypit. Porrastettu näkymä matriisista. Matriisin pelkistäminen askel- ja kolmiomuotoon Vektorien lineaarisen riippuvuuden kriteeri

Määritelmä

Neliömatriisia kutsutaan diagonaalinen, jos kaikki sen päälävistäjän ulkopuolella olevat elementit ovat yhtä suuria kuin nolla.

Kommentti. Matriisin diagonaaliset elementit (eli päädiagonaalin elementit) voivat myös olla nollia.

Esimerkki

Määritelmä

Skalaari kutsutaan diagonaalimatriisiksi, jossa kaikki diagonaaliset elementit ovat keskenään yhtä suuria.

Kommentti. Jos nollamatriisi on neliö, se on myös skalaari.

Esimerkki

Määritelmä

Identiteettimatriisi on skalaarimatriisi, jonka diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuret kuin 1.

Kommentti. Merkinnän lyhentämiseksi identiteettimatriisin järjestys voidaan jättää pois, jolloin identiteettimatriisi merkitään yksinkertaisesti .

Esimerkki

on toisen asteen identiteettimatriisi.

2.10. Matriisin pelkistäminen diagonaaliseen muotoon

Normaali (erityisesti symmetrinen) matriisi A voidaan saada diagonaalimuotoon samankaltaisuusmuunnolla -

A = TΛT −1

Tässä Λ = diag(λ 1 ,..., λ N) on diagonaalimatriisi, jonka elementit ovat matriisin ominaisarvoja A, A T on matriisi, joka koostuu matriisin vastaavista ominaisvektoreista A, eli T = (v 1 ,...,v N).

Esimerkiksi,

Riisi. 23 Alennus diagonaaliseen muotoon

Step Matrix

Määritelmä

Astui on matriisi, joka täyttää seuraavat ehdot:

Määritelmä

Astui kutsutaan matriisiksi, joka sisältää rivejä ja jossa ensimmäiset diagonaaliset alkiot ovat nollia poikkeavia ja päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ja viimeisten rivien alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla, eli se on muotoa:

Määritelmä

Pääelementti matriisin rivin ensimmäistä nollasta poikkeavaa alkiota kutsutaan.

Esimerkki

Harjoittele. Etsi matriisin jokaisen rivin pääelementit

Ratkaisu. Ensimmäisen rivin pääelementti on kyseisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava elementti ja siten rivin numero 1 pääelementti; samoin - toisen rivin pääelementti.

Toinen askelmatriisin määritelmä.

Määritelmä

Matriisia kutsutaan astui, Jos:

kaikki sen nollarivit tulevat nollasta poikkeavien rivien jälkeen;

jokaisella nollasta poikkeavalla rivillä toisesta alkaen sen pääelementti sijaitsee edellisen rivin pääelementin oikealla puolella (sarakkeessa, jossa on suurempi numero).

Määritelmän mukaan askelmatriisit sisältävät nollamatriisin sekä matriisin, joka sisältää yhden rivin.

Esimerkki

Esimerkkejä askelmatriiseista:

, , , ,

Esimerkkejä matriiseista, jotka eivät ole echeloneja:

, ,

Esimerkki

Harjoittele. Selvitä, onko matriisi astui.

Ratkaisu. Tarkistamme ehtojen täyttymisen määritelmästä:

Joten annettu matriisi on vaiheittainen.

Matriisi, matriisityypit, matriisioperaatiot.

Matriisityypit:

1. Suorakulmainen: m Ja n- mielivaltaiset positiiviset kokonaisluvut

2. Neliö: m = n

3. Matriisirivi: m = 1. Esimerkiksi (1 3 5 7) - monissa käytännön ongelmissa tällaista matriisia kutsutaan vektoriksi

4. Matriisi sarake: n = 1. Esimerkiksi

5. Diagonaalinen matriisi: m = n Ja a ij = 0, Jos i≠j. Esimerkiksi

6. Identiteettimatriisi: m = n Ja

7. Nollamatriisi: a ij = 0, i = 1,2,...,m

j = 1,2,...,n

8. Kolmiomainen matriisi: Kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat elementit ovat 0.

9. Symmetrinen matriisi:m = n Ja a ij =a ji(eli yhtäläiset elementit sijaitsevat symmetrisesti päälävistäjän suhteen) ja siksi A"=A

Esimerkiksi,

10. Vinosymmetrinen matriisi: m = n Ja a ij =-a ji(eli vastakkaiset elementit sijaitsevat paikoin, jotka ovat symmetrisiä päädiagonaaliin nähden). Näin ollen päädiagonaalissa on nollia (joista lähtien i=j meillä on a ii =-a ii)

Toimet matriiseilla:

1. Lisäys

2. Vähennyslasku matriisit - elementtikohtainen toiminta

3. Tehdä työtä matriisit numeron mukaan - elementtikohtainen operaatio

4. Kertominen A*B matriiseja säännön mukaan rivistä sarakkeeseen(matriisin A sarakkeiden lukumäärän on oltava yhtä suuri kuin matriisin B rivien lukumäärä)

A mk *B kn = C mn ja jokainen elementti ij:n kanssa matriiseja Cmn on yhtä suuri kuin matriisin A i:nnen rivin alkioiden tulojen summa matriisin B j:nnen sarakkeen vastaavilla alkioilla, ts.

Havainnollistetaan esimerkin avulla matriisin kertolasku

5. Transponoi matriisi A. Transponoitu matriisi on merkitty A T tai A"

,Esimerkiksi

Rivit ja sarakkeet vaihdettu

Matriisien operaatioiden ominaisuudet:

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

2. Toisen ja kolmannen asteen determinantit (peruskäsitteet, ominaisuudet, laskelmat)

Kiinteistö 1. Determinantti ei muutu transponoinnin aikana, ts.

Todiste.

Kommentti. Seuraavat determinanttien ominaisuudet formuloidaan vain merkkijonoille. Lisäksi ominaisuudesta 1 seuraa, että sarakkeilla on samat ominaisuudet.

Kiinteistö 2. Kun determinantin rivin alkiot kerrotaan tietyllä luvulla, koko determinantti kerrotaan tällä luvulla, ts.

.

Todiste.

Kiinteistö 3. Determinantti, jolla on nollamerkkijono, on yhtä suuri kuin 0.

Tämän ominaisuuden todiste seuraa ominaisuudesta 2, kun k = 0.

Kiinteistö 4. Determinantti, jolla on kaksi yhtäläistä merkkijonoa, on 0.

Todiste.

Kiinteistö 5. Determinantti, jonka kaksi riviä ovat verrannollisia, on yhtä suuri kuin 0.

Todistus seuraa ominaisuuksista 2 ja 4.

Kiinteistö 6. Kun determinantin kaksi riviä järjestetään uudelleen, se kerrotaan -1:llä.

Todiste.

Kiinteistö 7.

Voit todistaa tämän ominaisuuden itse vertaamalla määritelmän 1.5 avulla löydetyn yhtälön vasemman ja oikean puolen arvoja.

Kiinteistö 8. Determinantin arvo ei muutu, jos toisen rivin vastaavat elementit lisätään yhden rivin elementteihin kerrottuna samalla luvulla.

Pieni. Algebrallinen lisäys. Laplacen lause.

Kolmion muotoon pelkistysmenetelmä Se koostuu tietyn determinantin sellaisesta muunnoksesta, kun kaikki sen yhden diagonaalin toisella puolella olevat alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla.

Esimerkki 8. Laske determinantti

Muokattu kolmion muotoiseksi.

Ratkaisu. Vähennetään determinantin ensimmäinen rivi sen jäljellä olevista riveistä. Sitten saamme

.

Tämä determinantti on yhtä suuri kuin päädiagonaalin elementtien tulo. Näin meillä on

Kommentti. Kaikki edellä käsitelty voidaan yleistää n:nnen asteen determinanteille.

Matriisin pelkistäminen vaiheittaiseen muotoon. Rivien ja sarakkeiden alkeismuunnokset.

Elementaariset matriisimuunnokset seuraavia muunnoksia kutsutaan:

minä Matriisin kahden sarakkeen (rivin) permutaatio.

II. Kerrotaan matriisin yhden sarakkeen (rivin) kaikki elementit samalla luvulla, joka ei ole nolla.

III. Lisätään yhden sarakkeen (rivin) elementteihin toisen sarakkeen (rivin) vastaavat elementit kerrottuna samalla numerolla.

Alkuperäisestä matriisista äärellisellä määrällä alkeismuunnoksia saatua matriisia kutsutaan vastaava . Tämän ilmaisee .

Elementaarisilla muunnoksilla yksinkertaistetaan matriiseja, joita käytetään jatkossa erilaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Jotta matriisi saadaan porrastettuun muotoon (kuva 1.4), sinun on suoritettava seuraavat vaiheet.

1. Valitse ensimmäisessä sarakkeessa jokin muu elementti kuin nolla ( johtava elementti ). Merkkijono, jossa on alkuelementti ( johtava linja ), jos se ei ole ensimmäinen, järjestä se uudelleen ensimmäisen rivin tilalle (tyypin I muunnos). Jos ensimmäisessä sarakkeessa ei ole johtavaa elementtiä (kaikki elementit ovat nollia), jätämme tämän sarakkeen pois ja jatkamme johtavan elementin etsimistä matriisin muusta osasta. Muunnos päättyy, jos kaikki sarakkeet eliminoidaan tai matriisin loppuosassa on kaikki nollaelementit.

2. Jaa kaikki alkurivin elementit alkuelementillä (tyypin II muunnos). Jos johtava rivi on viimeinen, muunnoksen tulee päättyä siihen.

3. Lisää jokaiseen rivin alapuolelle johtava rivi, kerrottuna vastaavasti sellaisella luvulla, että ensimmäisen alapuolella olevat alkiot ovat nolla (tyypin III muunnos).

4. Kun olet jättänyt huomioimatta rivin ja sarakkeen, jonka leikkauskohdassa on johtava elementti, siirry vaiheeseen 1, jossa kaikkia kuvattuja toimintoja sovelletaan muuhun matriisiin.

Esimerkki 1.29. Pienennä askelmatriisimuotoon

Jotta matriisi saadaan porrastettuun muotoon (kuva 1.4), sinun on suoritettava seuraavat vaiheet.

1. Valitse ensimmäisessä sarakkeessa jokin muu elementti kuin nolla ( johtava elementti ). Merkkijono, jossa on alkuelementti ( johtava linja ), jos se ei ole ensimmäinen, järjestä se uudelleen ensimmäisen rivin tilalle (tyypin I muunnos). Jos ensimmäisessä sarakkeessa ei ole johtavaa elementtiä (kaikki elementit ovat nollia), jätämme tämän sarakkeen pois ja jatkamme johtavan elementin etsimistä matriisin muusta osasta. Muunnos päättyy, jos kaikki sarakkeet eliminoidaan tai matriisin loppuosassa on kaikki nollaelementit.

2. Jaa kaikki alkurivin elementit alkuelementillä (tyypin II muunnos). Jos johtava rivi on viimeinen, muunnoksen tulee päättyä siihen.

3. Lisää jokaiseen rivin alapuolelle johtava rivi, kerrottuna vastaavasti sellaisella luvulla, että ensimmäisen alapuolella olevat alkiot ovat nolla (tyypin III muunnos).

4. Kun olet jättänyt huomioimatta rivin ja sarakkeen, jonka leikkauskohdassa on johtava elementti, siirry vaiheeseen 1, jossa kaikkia kuvattuja toimintoja sovelletaan muuhun matriisiin.

Lause rivikohdan jakautumisesta rivin elementtien mukaan.

Lause determinantin hajoamisesta rivin tai sarakkeen elementeiksi mahdollistaa determinantin laskennan vähentämisen - th order() järjestysmääritteiden laskemiseen .

Jos determinantissa on nollan suuruisia elementtejä, on tarkoituksenmukaisinta laajentaa determinantti sen rivin tai sarakkeen alkioihin, joissa on eniten nollia.

Determinanttien ominaisuuksien avulla voit muuttaa determinantin - järjestys siten, että tietyn rivin tai sarakkeen kaikki elementit yhtä lukuun ottamatta ovat yhtä suuret kuin nolla. Näin ollen determinantin laskeminen - kertaluvun, jos se on eri kuin nolla, vähennetään yhden determinantin laskelmaan - tilaus.

Tehtävä 3.1. Laske determinantti

Ratkaisu. Lisäämällä ensimmäinen rivi toiselle riville, ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla kolmanteen riviin ja ensimmäinen rivi kerrottuna -5:llä neljännelle riville, saadaan

Laajennamme determinantin ensimmäisen sarakkeen elementeiksi, meillä on

.

Tuloksena olevassa 3. kertaluvun determinantissa nollataan kaikki ensimmäisen sarakkeen alkiot ensimmäistä lukuun ottamatta. Tätä varten lisäämme toiselle riville ensimmäisen, kerrottuna (-1), kolmanteen kerrottuna 5:llä, lisäämme ensimmäisen, kerrottuna 8:lla. Koska kerroimme kolmannen rivin viidellä, niin (niin että determinantti ei muutu) kerro se . Meillä on

Jaetaan tuloksena oleva determinantti ensimmäisen sarakkeen elementeiksi:

Laplacen lause(1). Lause alien-lisäyksistä(2)

1) Determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa.

2) Minkä tahansa determinantin rivin alkioiden tulojen summa sen toisen rivin vastaavien alkioiden algebrallisilla komplementeilla on yhtä suuri kuin nolla (muilla algebrallisilla komplementeilla kertova lause).

Jokainen tason piste, jolla on valittu koordinaattijärjestelmä, määritellään sen koordinaattien parilla (α, β); luvut α ja β voidaan ymmärtää myös sellaisen sädevektorin koordinaatteina, jonka loppu on tässä pisteessä. Samoin avaruudessa kolmiosa (α, β, γ) määrittelee pisteen tai vektorin, jonka koordinaatit α, β, γ. Tähän perustuu lukijan hyvin tuntemien lineaaristen yhtälöjärjestelmien geometrinen tulkinta, jossa on kaksi tai kolme tuntematonta. Siten kahden lineaarisen yhtälön järjestelmässä, jossa on kaksi tuntematonta

a 1 x + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2

jokainen yhtälö tulkitaan suoraksi viivaksi tasossa (katso kuva 26) ja ratkaisu (α, β) tulkitaan näiden viivojen leikkauspisteeksi tai vektoriksi, jonka koordinaatit ap (kuva vastaa tapaus, jossa järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu).

Riisi. 26

Voit tehdä saman lineaarisen yhtälöjärjestelmän kanssa, jossa on kolme tuntematonta, tulkitsemalla jokaisen yhtälön avaruuden tason yhtälöksi.

Matematiikassa ja sen erilaisissa sovelluksissa (erityisesti koodausteoriassa) on käsiteltävä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka sisältävät enemmän kuin kolme tuntematonta. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta x 1, x 2, ..., x n, on joukko yhtälöitä muotoa

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

missä a ij ja b i ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja. Yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä voi olla mikä tahansa, eikä se liity mitenkään tuntemattomien määrään. Tuntemattomien kertoimilla a ij on kaksinkertainen numerointi: ensimmäinen indeksi i ilmaisee yhtälön numeron, toinen indeksi j - tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on. Jokainen järjestelmän ratkaisu ymmärretään joukoksi tuntemattomien (todellisia) arvoja (α 1, α 2, ..., α n), mikä muuttaa jokaisen yhtälön todelliseksi yhtälöksi.

Vaikka järjestelmän (1) suora geometrinen tulkinta arvolle n > 3 ei ole enää mahdollista, on täysin mahdollista ja monessa suhteessa kätevää laajentaa kaksi- tai kolmiulotteisen avaruuden geometrinen kieli mielivaltaisen n:n tapaukseen. Lisämääritelmät palvelevat tätä tarkoitusta.

Mitä tahansa järjestettyä joukkoa n reaalilukua (α 1, α 2, ..., α n) kutsutaan n-ulotteiseksi aritmeettiseksi vektoriksi, ja itse luvut α 1, α 2, ..., α n ovat luvun koordinaatteja. tämä vektori.

Vektorien osoittamiseen käytetään yleensä lihavoitua fonttia ja vektorille a, jonka koordinaatit α 1, α 2, ..., α n, säilytetään tavallinen merkintämuoto:

a = (a 1, a 2, ..., a n).

Analogisesti tavallisen tason kanssa, joukkoa kaikkia n-ulotteisia vektoreita, jotka täyttävät lineaarisen yhtälön, jossa on n tuntematonta, kutsutaan hypertasoksi n-ulotteisessa avaruudessa. Tällä määritelmällä järjestelmän (1) kaikkien ratkaisujen joukko ei ole muuta kuin useiden hypertasojen leikkauspiste.

N-ulotteisten vektorien yhteen- ja kertolasku määräytyy samoilla säännöillä kuin tavallisille vektoreille. Nimittäin jos

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Kaksi n-ulotteista vektoria, jolloin niiden summaa kutsutaan vektoriksi

a + p = (a 1 + β 1, a 2 + β 2, ..., a n + p n). (3)

Vektorin a ja luvun λ tulo on vektori

λa = (λα1, λα2, ..., λαn). (4)

Kaikkien n-ulotteisten aritmeettisten vektoreiden joukkoa, jossa on operaatioita vektorien yhteenlaskemisesta ja vektorin kertomisesta luvulla, kutsutaan aritmeettiseksi n-ulotteiseksi vektoriavaruudeksi L n.

Esiteltyjen operaatioiden avulla voidaan tarkastella mielivaltaisia ​​useiden vektorien lineaarisia yhdistelmiä, eli muodon lausekkeita.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

missä λ i ovat reaalilukuja. Esimerkiksi lineaarinen yhdistelmä vektoreista (2) kertoimilla λ ja μ on vektori

λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa erityinen rooli on vektorien i, j, k (koordinaattiyksikkövektorit) kolmiosalla, johon mikä tahansa vektori a on hajotettu:

a = xi + yj + zk,

missä x, y, z ovat reaalilukuja (vektorin a koordinaatteja).

N-ulotteisessa tapauksessa seuraava vektorijärjestelmä näyttelee samaa roolia:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Mikä tahansa vektori a on luonnollisesti vektorien e 1, e 2, ..., e n lineaarinen yhdistelmä:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

ja kertoimet α 1, α 2, ..., α n ovat yhtenevät vektorin a koordinaattien kanssa.

Merkitään 0:lla vektori, jonka kaikki koordinaatit ovat nolla (lyhyesti sanottuna nollavektori), otamme käyttöön seuraavan tärkeän määritelmän:

Vektorijärjestelmää a 1, a 2, ... ja k kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi, jos on olemassa lineaarinen yhdistelmä, joka on yhtä suuri kuin nollavektori

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

jossa ainakin yksi kertoimista h 1, λ 2, ..., λ k on eri kuin nolla. Muuten järjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi.

Joten vektorit

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) ja 3 = (2, 2, 2, 2)

ovat lineaarisesti riippuvaisia, koska

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineaarinen riippuvuus, kuten määritelmästä voidaan nähdä, vastaa (jos k ≥ 2) sitä tosiasiaa, että ainakin yksi järjestelmän vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Jos järjestelmä koostuu kahdesta vektorista a 1 ja a 2, niin järjestelmän lineaarinen riippuvuus tarkoittaa, että toinen vektoreista on verrannollinen toiseen, esimerkiksi a 1 = λa 2; kolmiulotteisessa tapauksessa tämä vastaa vektorien a 1 ja a 2 kollineaarisuutta. Samalla tavalla kolmen vektorin systeemin I lineaarinen riippuvuus tavallisessa avaruudessa tarkoittaa, että nämä vektorit ovat samantasoisia. Lineaarisen riippuvuuden käsite on siis luonnollinen yleistys kollineaarisuuden ja koplanaarisuuden käsitteistä.

On helppo varmistaa, että vektorit e 1, e 2, ..., e n järjestelmästä (5) ovat lineaarisesti riippumattomia. Näin ollen n-ulotteisessa avaruudessa on n lineaarisesti riippumattoman vektorin järjestelmiä. Voidaan osoittaa, että mikä tahansa järjestelmä, jossa on suurempi määrä vektoreita, on lineaarisesti riippuvainen.

Mitä tahansa järjestelmää a 1 , a 2 , ..., a n n lineaarisesti riippumatonta vektoria n-ulotteisesta avaruudesta L n kutsutaan sen kantaksi.

Mikä tahansa avaruuden L n vektori a hajotetaan ainutlaatuisella tavalla mielivaltaisen kantavuuden vektoreiksi a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Tämä tosiasia on helppo todeta perustan määritelmän perusteella.

Jatkamalla analogiaa kolmiulotteisen avaruuden kanssa, on mahdollista n-ulotteisessa tapauksessa määrittää vektorien skalaaritulo a b, asettamalla

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Tällä määritelmällä kaikki kolmiulotteisten vektorien skalaaritulon perusominaisuudet säilyvät. Vektoreita a ja b kutsutaan ortogonaaleiksi, jos niiden skalaaritulo on nolla:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Lineaaristen koodien teoriassa käytetään toista tärkeää käsitettä - aliavaruuden käsitettä. Avaruuden L n osajoukkoa V kutsutaan tämän avaruuden aliavaruudeksi if

1) mille tahansa V:hen kuuluville vektoreille a, b niiden summa a + b kuuluu myös V:hen;

2) mille tahansa V:hen kuuluvalle vektorille a ja mille tahansa reaaliluvulle λ, vektori λa kuuluu myös V:hen.

Esimerkiksi kaikkien vektorien e 1, e 2 lineaariyhdistelmien joukko järjestelmästä (5) on avaruuden L n aliavaruus.

Lineaarisessa algebrassa on todistettu, että missä tahansa aliavaruudessa V on niin lineaarisesti riippumaton vektoreiden a 1, a 2, ..., a k järjestelmä, että jokainen aliavaruuden vektori a on näiden vektorien lineaarinen yhdistelmä:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Ilmoitettua vektorijärjestelmää kutsutaan aliavaruuden V kantaksi.

Avaruuden ja aliavaruuden määritelmästä seuraa välittömästi, että avaruus L n on kommutoiva ryhmä vektorin yhteenlaskuoperaation suhteen ja mikä tahansa sen aliavaruudesta V on tämän ryhmän aliryhmä. Tässä mielessä voidaan tarkastella esimerkiksi avaruuden L n kosetteja aliavaruuden V suhteen.

Lopuksi korostamme, että jos n-ulotteisen aritmeettisen avaruuden teoriassa otetaan huomioon reaalilukujen (eli reaalilukukentän elementtien) sijasta mielivaltaisen kentän F elementit, niin kaikki annetut määritelmät ja tosiasiat yllä oleva pysyisi voimassa.

Koodausteoriassa tärkeä rooli on tapauksella, jossa kenttä F on jäännösten Z p kenttä, joka, kuten tiedämme, on äärellinen. Tässä tapauksessa vastaava n-ulotteinen avaruus on myös äärellinen ja sisältää, kuten on helppo nähdä, p n elementtiä.

Avaruuden käsite, kuten käsitteet ryhmä ja rengas, mahdollistaa myös aksiomaattisen määritelmän. Tarkempia tietoja varten viittaamme Feederiin mille tahansa lineaarialgebran kurssille.

Lineaarinen yhdistelmä. Lineaarisesti riippuvaiset ja riippumattomat vektorijärjestelmät.

vektorien lineaarinen yhdistelmä

Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä kutsutaan vektoriksi

Missä - lineaariset yhdistelmäkertoimet. Jos yhdistelmän sanotaan olevan triviaali, jos se ei ole triviaali.

Lineaarinen riippuvuus ja vektoririippuvuus

Järjestelmä lineaarisesti riippuvainen

Järjestelmä lineaarisesti riippumaton

Vektorien lineaarisen riippuvuuden kriteeri

Jotta vektorit (r > 1) olivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ainakin yksi näistä vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Lineaarisen avaruuden mitta

Lineaarinen avaruus V nimeltään n-dimensionaalinen (sillä on ulottuvuus n), jos se sisältää:

1) on olemassa n lineaarisesti riippumattomat vektorit;

2) mikä tahansa järjestelmä n+1 vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Nimitykset: n= himmeä V;.

Vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippuvainen, jos on olemassa nollasta poikkeava joukko lukuja siten, että lineaarinen yhdistelmä

Vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumaton, jos lineaarisen yhdistelmän yhtälöstä nollaan

on yhtä kuin nolla kaikille kertoimet

Kysymys vektorien lineaarisesta riippuvuudesta yleisessä tapauksessa tulee kysymykseen nollasta poikkeavan ratkaisun olemassaolosta homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle, jonka kertoimet ovat yhtä suuria kuin näiden vektorien vastaavat koordinaatit.

Vektorijärjestelmän "lineaarisen riippuvuuden" ja "lineaarisen riippumattomuuden" käsitteiden ymmärtämiseksi perusteellisesti on hyödyllistä ratkaista seuraavan tyyppisiä ongelmia:

Lineaarisuus I ja II lineaarisuuden kriteerit.

Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, jos ja vain jos yksi järjestelmän vektoreista on lineaarinen yhdistelmä tämän järjestelmän jäljellä olevista vektoreista.

Todiste. Olkoon vektorijärjestelmä lineaarisesti riippuvainen. Sitten on sellainen joukko kertoimia , että , ja ainakin yksi kerroin on eri kuin nolla. Kuvitellaanpa sitä. Sitten

eli se on lineaarinen yhdistelmä järjestelmän jäljellä olevista vektoreista.

Olkoon yksi järjestelmän vektoreista lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista vektoreista. Oletetaan, että tämä on vektori, eli . On selvää, että. Havaitsimme, että järjestelmävektorien lineaarinen yhdistelmä on nolla ja yksi kertoimista on eri kuin nolla (yhtä kuin ).

Tarjous10 . 7 Jos vektorijärjestelmä sisältää lineaarisesti riippuvan alijärjestelmän, niin koko järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

Todiste.

Olkoon alijärjestelmä vektorijärjestelmässä , , on lineaarisesti riippuvainen, eli , ja ainakin yksi kerroin on eri kuin nolla. Tehdään sitten lineaarinen yhdistelmä. On selvää, että tämä lineaarinen yhdistelmä on yhtä suuri kuin nolla ja että kertoimien joukossa on nollasta poikkeava yksi.

Vektorijärjestelmän perusta on pääteho.

Nollasta poikkeavan vektorijärjestelmän kanta on sen ekvivalentti lineaarisesti riippumaton alijärjestelmä. Nollajärjestelmällä ei ole perustaa.

Omaisuus 1: Lineaarisen riippumattoman järjestelmän kanta osuu yhteen itsensä kanssa.

Esimerkki: Lineaarisesti riippumattomien vektoreiden järjestelmä, koska yhtäkään vektoreista ei voida ilmaista lineaarisesti muiden kautta.

Ominaisuus 2: (perusehto) Tietyn järjestelmän lineaarisesti riippumaton osajärjestelmä on sen perusta silloin ja vain, jos se on maksimaalisesti lineaarisesti riippumaton.

Todiste: Kun otetaan huomioon järjestelmä Välttämättömyys Anna pohjan. Sitten, määritelmän mukaan, ja jos , missä , järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, koska se on lineaarisesti degeneroitunut kautta ja on siksi maksimaalisesti lineaarisesti riippumaton. Riittävyys Olkoon osajärjestelmä maksimaalisesti lineaarisesti riippumaton, niin missä . lineaarisesti riippuvainen lineaarisesti rappeutuu siten järjestelmän perustan kautta.

Kiinteistö 3: (Pohjan pääominaisuus) Jokainen järjestelmän vektori voidaan ilmaista kantakohdan kautta ainutlaatuisella tavalla.

Todiste Olkoon vektori degeneroitunut kantapään läpi kahdella tavalla, sitten: , sitten

Vektorijärjestelmän järjestys.

Vektorijärjestelmän arvon löytämiseksi sinun on käytettävä Gaussin menetelmää järjestelmän pienentämiseksi kolmion tai puolisuunnikkaan muotoon.

Vastaavat vektorijärjestelmät.

Esimerkki:

Muunnetaan vektoridata matriisiksi perustan löytämiseksi. Saamme:

Nyt Gaussin menetelmää käyttäen muutetaan matriisi puolisuunnikkaan muotoon:

1) Päämatriisissamme peruutetaan koko ensimmäinen sarake ensimmäistä riviä lukuun ottamatta, toisesta vähennetään ensimmäinen kerrottuna , kolmannesta vähennetään ensimmäinen kerrottuna , ja neljännestä emme vähennä mitään koska neljännen rivin ensimmäinen elementti, eli ensimmäisen sarakkeen ja neljännen rivin leikkauspiste on yhtä suuri kuin nolla. Saamme matriisin: 2) Vaihdetaan nyt matriisissa rivit 2, 3 ja 4 ratkaisun helpottamiseksi siten, että elementin tilalle tulee yksi. Muutetaan neljäs rivi toisen sijasta, toinen kolmannen sijasta ja kolmas neljännen tilalle. Saamme matriisin: 3) Matriisissa peruutetaan kaikki elementin alla olevat elementit. Koska matriisimme elementti on jälleen yhtä suuri kuin nolla, emme vähennä mitään neljännestä rivistä, vaan kolmanteen lisäämme toisen kerrottuna . Saamme matriisin: 4) Vaihdetaan matriisin rivit 3 ja 4 uudelleen. Saamme matriisin: 5) Lisää matriisissa kolmas rivi neljänteen riviin kerrottuna 5:llä. Saadaan matriisi, jolla on kolmiomuoto:

Järjestelmät, niiden sijoitukset ovat samat johtuen arvon ominaisuuksista ja niiden arvo on yhtä suuri kuin sijoitus

Huomautuksia: 1) Toisin kuin perinteisessä Gaussin menetelmässä, jos kaikki matriisirivin alkiot jaetaan tietyllä luvulla, meillä ei ole oikeutta pienentää matriisiriviä matriisin ominaisuuksien vuoksi. Jos haluamme pienentää riviä tietyllä numerolla, meidän on pienennettävä koko matriisia tällä numerolla. 2) Jos saamme lineaarisesti riippuvan rivin, voimme poistaa sen matriisistamme ja korvata sen nollarivillä. Esimerkki: Voit heti nähdä, että toinen rivi ilmaistaan ​​ensimmäisen kautta, jos kerrot ensimmäisen 2:lla. Tässä tapauksessa voimme korvata koko toisen rivin nollalla. Saamme: Tämän seurauksena, kun matriisi on saatettu joko kolmio- tai puolisuunnikkaan muotoon, jossa sillä ei ole lineaarisesti riippuvia vektoreita, kaikki matriisin nollasta poikkeavat vektorit ovat matriisin kanta, ja niiden lukumäärä on järjestys.

Tässä on myös esimerkki graafin muodossa olevasta vektorijärjestelmästä: Annettu järjestelmä, jossa , , ja . Tämän järjestelmän perusta on ilmeisesti vektorit ja , koska vektorit ilmaistaan ​​niiden kautta. Tämä järjestelmä graafisessa muodossa näyttää tältä:

Alkeista uudelleenluomista. Askeltyyppiset järjestelmät.

Elementaariset matriisimuunnokset- Nämä ovat matriisimuunnoksia, jotka johtavat matriisiekvivalenssin säilymiseen. Siten alkeismuunnokset eivät muuta tämän matriisin edustaman lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisujoukkoa.

Elementaarisia muunnoksia käytetään Gaussin menetelmässä matriisin pelkistämiseksi kolmio- tai askelmuotoon.

Perusmerkkijonon muunnokset kutsutaan:

Joillakin lineaarialgebran kursseilla matriisirivien permutaatiota ei eroteta erillisenä perusmuunnoksena, koska minkä tahansa kahden matriisirivin permutaatio voidaan saada kertomalla mikä tahansa matriisirivi vakiolla ja lisäämällä toinen rivi mihin tahansa matriisiriviin kerrottuna vakiolla , .

Samalla tavalla määritelty perussarakemuunnoksia.

Elementaariset muunnokset käännettävä.

Merkintä osoittaa, että matriisi voidaan saada alkeismuunnoksilla (tai päinvastoin).

Jotta matriisi saadaan porrastettuun muotoon (kuva 1.4), sinun on suoritettava seuraavat vaiheet.

1. Valitse ensimmäisessä sarakkeessa jokin muu elementti kuin nolla ( johtava elementti ). Merkkijono, jossa on alkuelementti ( johtava linja ), jos se ei ole ensimmäinen, järjestä se uudelleen ensimmäisen rivin tilalle (tyypin I muunnos). Jos ensimmäisessä sarakkeessa ei ole johtavaa elementtiä (kaikki elementit ovat nollia), jätämme tämän sarakkeen pois ja jatkamme johtavan elementin etsimistä matriisin muusta osasta. Muunnos päättyy, jos kaikki sarakkeet eliminoidaan tai matriisin loppuosassa on kaikki nollaelementit.

2. Jaa kaikki alkurivin elementit alkuelementillä (tyypin II muunnos). Jos johtava rivi on viimeinen, muunnoksen tulee päättyä siihen.

3. Lisää jokaiseen rivin alapuolelle johtava rivi, kerrottuna vastaavasti sellaisella luvulla, että ensimmäisen alapuolella olevat alkiot ovat nolla (tyypin III muunnos).

4. Kun olet jättänyt huomioimatta rivin ja sarakkeen, jonka leikkauskohdassa on johtava elementti, siirry vaiheeseen 1, jossa kaikkia kuvattuja toimintoja sovelletaan muuhun matriisiin.

Lause rivikohdan jakautumisesta rivin elementtien mukaan.

Lause determinantin hajoamisesta rivin tai sarakkeen elementeiksi mahdollistaa determinantin laskennan vähentämisen - th order() järjestysmääritteiden laskemiseen .

Jos determinantissa on nollan suuruisia elementtejä, on tarkoituksenmukaisinta laajentaa determinantti sen rivin tai sarakkeen alkioihin, joissa on eniten nollia.

Determinanttien ominaisuuksien avulla voit muuttaa determinantin - järjestys siten, että tietyn rivin tai sarakkeen kaikki elementit yhtä lukuun ottamatta ovat yhtä suuret kuin nolla. Näin ollen determinantin laskeminen - kertaluvun, jos se on eri kuin nolla, vähennetään yhden determinantin laskelmaan - tilaus.

Tehtävä 3.1. Laske determinantti

Ratkaisu. Lisäämällä ensimmäinen rivi toiselle riville, ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla kolmanteen riviin ja ensimmäinen rivi kerrottuna -5:llä neljännelle riville, saadaan

Laajennamme determinantin ensimmäisen sarakkeen elementeiksi, meillä on

.

Tuloksena olevassa 3. kertaluvun determinantissa nollataan kaikki ensimmäisen sarakkeen alkiot ensimmäistä lukuun ottamatta. Tätä varten lisäämme toiselle riville ensimmäisen, kerrottuna (-1), kolmanteen kerrottuna 5:llä, lisäämme ensimmäisen, kerrottuna 8:lla. Koska kerroimme kolmannen rivin viidellä, niin (niin että determinantti ei muutu) kerro se . Meillä on

Jaetaan tuloksena oleva determinantti ensimmäisen sarakkeen elementeiksi:

Laplacen lause(1). Lause alien-lisäyksistä(2)

1) Determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa.

2) Minkä tahansa determinantin rivin alkioiden tulojen summa sen toisen rivin vastaavien alkioiden algebrallisilla komplementeilla on yhtä suuri kuin nolla (muilla algebrallisilla komplementeilla kertova lause).

Jokainen tason piste, jolla on valittu koordinaattijärjestelmä, määritellään sen koordinaattien parilla (α, β); luvut α ja β voidaan ymmärtää myös sellaisen sädevektorin koordinaatteina, jonka loppu on tässä pisteessä. Samoin avaruudessa kolmiosa (α, β, γ) määrittelee pisteen tai vektorin, jonka koordinaatit α, β, γ. Tähän perustuu lukijan hyvin tuntemien lineaaristen yhtälöjärjestelmien geometrinen tulkinta, jossa on kaksi tai kolme tuntematonta. Siten kahden lineaarisen yhtälön järjestelmässä, jossa on kaksi tuntematonta

a 1 x + b 1 y = c 1,

a 2 x + b 2 y = c 2

jokainen yhtälö tulkitaan suoraksi viivaksi tasossa (katso kuva 26) ja ratkaisu (α, β) tulkitaan näiden viivojen leikkauspisteeksi tai vektoriksi, jonka koordinaatit ap (kuva vastaa tapaus, jossa järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu).

Riisi. 26

Voit tehdä saman lineaarisen yhtälöjärjestelmän kanssa, jossa on kolme tuntematonta, tulkitsemalla jokaisen yhtälön avaruuden tason yhtälöksi.

Matematiikassa ja sen erilaisissa sovelluksissa (erityisesti koodausteoriassa) on käsiteltävä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka sisältävät enemmän kuin kolme tuntematonta. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta x 1, x 2, ..., x n, on joukko yhtälöitä muotoa

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m,

missä a ij ja b i ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja. Yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä voi olla mikä tahansa, eikä se liity mitenkään tuntemattomien määrään. Tuntemattomien kertoimilla a ij on kaksinkertainen numerointi: ensimmäinen indeksi i ilmaisee yhtälön numeron, toinen indeksi j - tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on.

Mikä tahansa järjestelmän ratkaisu ymmärretään joukoksi tuntemattomien (todellisia) arvoja (α 1 , α 2 , ..., α n ), muuttaen jokaisen yhtälön todelliseksi yhtälöksi.

Vaikka järjestelmän (1) suora geometrinen tulkinta arvolle n > 3 ei ole enää mahdollista, on täysin mahdollista ja monessa suhteessa kätevää laajentaa kaksi- tai kolmiulotteisen avaruuden geometrinen kieli mielivaltaisen n:n tapaukseen. Lisämääritelmät palvelevat tätä tarkoitusta.

Jokainen järjestettävä n reaaliluvun joukko (α 1 , α 2 , ..., α n ) kutsutaan n-ulotteiseksi aritmeettiseksi vektoriksi ja itse luvut ovat α 1 , α 2 , ..., α n - tämän vektorin koordinaatit.

Vektorien osoittamiseen käytetään yleensä lihavoitua fonttia ja vektorille a, jonka koordinaatit α 1, α 2, ..., α n, säilytetään tavallinen merkintämuoto:

a = (a 1, a 2, ..., a n).

Analogisesti tavallisen tason kanssa, joukkoa kaikkia n-ulotteisia vektoreita, jotka täyttävät lineaarisen yhtälön, jossa on n tuntematonta, kutsutaan hypertasoksi n-ulotteisessa avaruudessa. Tällä määritelmällä järjestelmän (1) kaikkien ratkaisujen joukko ei ole muuta kuin useiden hypertasojen leikkauspiste.

N-ulotteisten vektorien yhteen- ja kertolasku määräytyy samoilla säännöillä kuin tavallisille vektoreille. Nimittäin jos

a = (α 1, α 2, ..., α n), b = (β 1, β 2, ..., β n) (2)

Kaksi n-ulotteista vektoria, jolloin niiden summaa kutsutaan vektoriksi

a + p = (a 1 + β 1, a 2 + β 2, ..., a n + p n). (3)

Vektorin a ja luvun λ tulo on vektori

λa = (λα1, λα2, ..., λαn). (4)

Kaikkien n-ulotteisten aritmeettisten vektoreiden joukkoa, jossa on operaatioita vektorien yhteenlaskemisesta ja vektorin kertomisesta luvulla, kutsutaan aritmeettiseksi n-ulotteiseksi vektoriavaruudeksi L n.

Esiteltyjen operaatioiden avulla voidaan tarkastella mielivaltaisia ​​useiden vektorien lineaarisia yhdistelmiä, eli muodon lausekkeita.

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k,

missä λ i ovat reaalilukuja. Esimerkiksi lineaarinen yhdistelmä vektoreista (2) kertoimilla λ ja μ on vektori

λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).

Kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa erityinen rooli on vektorien i, j, k (koordinaattiyksikkövektorit) kolmiosalla, johon mikä tahansa vektori a on hajotettu:

a = xi + yj + zk,

missä x, y, z ovat reaalilukuja (vektorin a koordinaatteja).

N-ulotteisessa tapauksessa seuraava vektorijärjestelmä näyttelee samaa roolia:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),

e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),

e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),

. . . . . . . . . . . . (5)

e n = (0, 0, 0, ..., 1).

Mikä tahansa vektori a on luonnollisesti vektorien e 1, e 2, ..., e n lineaarinen yhdistelmä:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n, (6)

ja kertoimet α 1, α 2, ..., α n ovat yhtenevät vektorin a koordinaattien kanssa.

Merkitään 0:lla vektori, jonka kaikki koordinaatit ovat nolla (lyhyesti sanottuna nollavektori), otamme käyttöön seuraavan tärkeän määritelmän:

Vektorijärjestelmää a 1, a 2, ... ja k kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi, jos on olemassa lineaarinen yhdistelmä, joka on yhtä suuri kuin nollavektori

λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,

jossa ainakin yksi kertoimista h 1, λ 2, ..., λ k on eri kuin nolla. Muuten järjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi.

Joten vektorit

a 1 = (1, 0, 1, 1), a 2 = (1, 2, 1, 1) ja 3 = (2, 2, 2, 2)

ovat lineaarisesti riippuvaisia, koska

a 1 + a 2 - a 3 = 0.

Lineaarinen riippuvuus, kuten määritelmästä voidaan nähdä, vastaa (jos k ≥ 2) sitä tosiasiaa, että ainakin yksi järjestelmän vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Jos järjestelmä koostuu kahdesta vektorista a 1 ja a 2, niin järjestelmän lineaarinen riippuvuus tarkoittaa, että toinen vektoreista on verrannollinen toiseen, esimerkiksi a 1 = λa 2; kolmiulotteisessa tapauksessa tämä vastaa vektorien a 1 ja a 2 kollineaarisuutta. Samalla tavalla kolmen vektorin systeemin I lineaarinen riippuvuus tavallisessa avaruudessa tarkoittaa, että nämä vektorit ovat samantasoisia. Lineaarisen riippuvuuden käsite on siis luonnollinen yleistys kollineaarisuuden ja koplanaarisuuden käsitteistä.

On helppo varmistaa, että vektorit e 1, e 2, ..., e n järjestelmästä (5) ovat lineaarisesti riippumattomia. Näin ollen n-ulotteisessa avaruudessa on n lineaarisesti riippumattoman vektorin järjestelmiä. Voidaan osoittaa, että mikä tahansa järjestelmä, jossa on suurempi määrä vektoreita, on lineaarisesti riippuvainen.

Mitä tahansa järjestelmää a 1 , a 2 , ..., a n n lineaarisesti riippumatonta vektoria n-ulotteisesta avaruudesta L n kutsutaan sen kantaksi.

Mikä tahansa avaruuden L n vektori a hajotetaan ainutlaatuisella tavalla mielivaltaisen kantavuuden vektoreiksi a 1, a 2, ..., a n:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n.

Tämä tosiasia on helppo todeta perustan määritelmän perusteella.

Jatkamalla analogiaa kolmiulotteisen avaruuden kanssa, on mahdollista n-ulotteisessa tapauksessa määrittää vektorien skalaaritulo a b, asettamalla

a · b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n .

Tällä määritelmällä kaikki kolmiulotteisten vektorien skalaaritulon perusominaisuudet säilyvät. Vektoreita a ja b kutsutaan ortogonaaleiksi, jos niiden skalaaritulo on nolla:

α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.

Lineaaristen koodien teoriassa käytetään toista tärkeää käsitettä - aliavaruuden käsitettä. Avaruuden L n osajoukkoa V kutsutaan tämän avaruuden aliavaruudeksi if

1) mille tahansa V:hen kuuluville vektoreille a, b niiden summa a + b kuuluu myös V:hen;

2) mille tahansa V:hen kuuluvalle vektorille a ja mille tahansa reaaliluvulle λ, vektori λa kuuluu myös V:hen.

Esimerkiksi kaikkien vektorien e 1, e 2 lineaariyhdistelmien joukko järjestelmästä (5) on avaruuden L n aliavaruus.

Lineaarisessa algebrassa on todistettu, että missä tahansa aliavaruudessa V on niin lineaarisesti riippumaton vektoreiden a 1, a 2, ..., a k järjestelmä, että jokainen aliavaruuden vektori a on näiden vektorien lineaarinen yhdistelmä:

a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k .

Ilmoitettua vektorijärjestelmää kutsutaan aliavaruuden V kantaksi.

Avaruuden ja aliavaruuden määritelmästä seuraa välittömästi, että avaruus L n on kommutoiva ryhmä vektorin yhteenlaskuoperaation suhteen ja mikä tahansa sen aliavaruudesta V on tämän ryhmän aliryhmä. Tässä mielessä voidaan tarkastella esimerkiksi avaruuden L n kosetteja aliavaruuden V suhteen.

Lopuksi korostamme, että jos n-ulotteisen aritmeettisen avaruuden teoriassa otetaan huomioon reaalilukujen (eli reaalilukukentän elementtien) sijasta mielivaltaisen kentän F elementit, niin kaikki annetut määritelmät ja tosiasiat yllä oleva pysyisi voimassa.

Koodausteoriassa tärkeä rooli on tapauksella, jossa kenttä F on jäännösten Z p kenttä, joka, kuten tiedämme, on äärellinen. Tässä tapauksessa vastaava n-ulotteinen avaruus on myös äärellinen ja sisältää, kuten on helppo nähdä, p n elementtiä.

Avaruuden käsite, kuten käsitteet ryhmä ja rengas, mahdollistaa myös aksiomaattisen määritelmän. Tarkempia tietoja varten viittaamme Feederiin mille tahansa lineaarialgebran kurssille.

Lineaarinen yhdistelmä. Lineaarisesti riippuvaiset ja riippumattomat vektorijärjestelmät.

vektorien lineaarinen yhdistelmä

Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä kutsutaan vektoriksi

Missä - lineaariset yhdistelmäkertoimet. Jos yhdistelmän sanotaan olevan triviaali, jos se ei ole triviaali.

Lineaarinen riippuvuus ja vektoririippuvuus

Järjestelmä lineaarisesti riippuvainen

Järjestelmä lineaarisesti riippumaton

Vektorien lineaarisen riippuvuuden kriteeri

Jotta vektorit (r > 1) olivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ainakin yksi näistä vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Lineaarisen avaruuden mitta

Lineaarinen avaruus V nimeltään n-dimensionaalinen (sillä on ulottuvuus n), jos se sisältää:

1) on olemassa n lineaarisesti riippumattomat vektorit;

2) mikä tahansa järjestelmä n+1 vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia.

Nimitykset: n= himmeä V;.

Vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippuvainen, jos on olemassa nollasta poikkeava joukko lukuja siten, että lineaarinen yhdistelmä

Vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumaton, jos lineaarisen yhdistelmän yhtälöstä nollaan

on yhtä kuin nolla kaikille kertoimet

Kysymys vektorien lineaarisesta riippuvuudesta yleisessä tapauksessa tulee kysymykseen nollasta poikkeavan ratkaisun olemassaolosta homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle, jonka kertoimet ovat yhtä suuria kuin näiden vektorien vastaavat koordinaatit.

Vektorijärjestelmän "lineaarisen riippuvuuden" ja "lineaarisen riippumattomuuden" käsitteiden ymmärtämiseksi perusteellisesti on hyödyllistä ratkaista seuraavan tyyppisiä ongelmia:

Lineaarisuus I ja II lineaarisuuden kriteerit.

Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, jos ja vain jos yksi järjestelmän vektoreista on lineaarinen yhdistelmä tämän järjestelmän jäljellä olevista vektoreista.

Todiste. Olkoon vektorijärjestelmä lineaarisesti riippuvainen. Sitten on sellainen joukko kertoimia , että , ja ainakin yksi kerroin on eri kuin nolla. Kuvitellaanpa sitä. Sitten

eli se on lineaarinen yhdistelmä järjestelmän jäljellä olevista vektoreista.

Olkoon yksi järjestelmän vektoreista lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista vektoreista. Oletetaan, että tämä on vektori, eli . On selvää, että. Havaitsimme, että järjestelmävektorien lineaarinen yhdistelmä on nolla ja yksi kertoimista on eri kuin nolla (yhtä kuin ).

Tarjous10 . 7 Jos vektorijärjestelmä sisältää lineaarisesti riippuvan alijärjestelmän, niin koko järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

Todiste.

Olkoon alijärjestelmä vektorijärjestelmässä , , on lineaarisesti riippuvainen, eli , ja ainakin yksi kerroin on eri kuin nolla. Tehdään sitten lineaarinen yhdistelmä. On selvää, että tämä lineaarinen yhdistelmä on yhtä suuri kuin nolla ja että kertoimien joukossa on nollasta poikkeava yksi.

Vektorijärjestelmän perusta on pääteho.

Nollasta poikkeavan vektorijärjestelmän kanta on sen ekvivalentti lineaarisesti riippumaton alijärjestelmä. Nollajärjestelmällä ei ole perustaa.

Omaisuus 1: Lineaarisen riippumattoman järjestelmän kanta osuu yhteen itsensä kanssa.

Esimerkki: Lineaarisesti riippumattomien vektoreiden järjestelmä, koska yhtäkään vektoreista ei voida ilmaista lineaarisesti muiden kautta.

Ominaisuus 2: (perusehto) Tietyn järjestelmän lineaarisesti riippumaton osajärjestelmä on sen perusta silloin ja vain, jos se on maksimaalisesti lineaarisesti riippumaton.

Todiste: Kun otetaan huomioon järjestelmä Välttämättömyys Anna pohjan. Sitten, määritelmän mukaan, ja jos , missä , järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen, koska se on lineaarisesti degeneroitunut kautta ja on siksi maksimaalisesti lineaarisesti riippumaton. Riittävyys Olkoon osajärjestelmä maksimaalisesti lineaarisesti riippumaton, niin missä . lineaarisesti riippuvainen lineaarisesti rappeutuu siten järjestelmän perustan kautta.

Kiinteistö 3: (Pohjan pääominaisuus) Jokainen järjestelmän vektori voidaan ilmaista kantakohdan kautta ainutlaatuisella tavalla.

Todiste Olkoon vektori degeneroitunut kantapään läpi kahdella tavalla, sitten: , sitten

Vektorijärjestelmän järjestys.

Vektorijärjestelmän arvon löytämiseksi sinun on käytettävä Gaussin menetelmää järjestelmän pienentämiseksi kolmion tai puolisuunnikkaan muotoon.

Vastaavat vektorijärjestelmät.

Esimerkki:

Muunnetaan vektoridata matriisiksi perustan löytämiseksi. Saamme:

Nyt Gaussin menetelmää käyttäen muutetaan matriisi puolisuunnikkaan muotoon:

1) Päämatriisissamme peruutetaan koko ensimmäinen sarake ensimmäistä riviä lukuun ottamatta, toisesta vähennetään ensimmäinen kerrottuna , kolmannesta vähennetään ensimmäinen kerrottuna , ja neljännestä emme vähennä mitään koska neljännen rivin ensimmäinen elementti, eli ensimmäisen sarakkeen ja neljännen rivin leikkauspiste on yhtä suuri kuin nolla. Saamme matriisin: 2) Vaihdetaan nyt matriisissa rivit 2, 3 ja 4 ratkaisun helpottamiseksi siten, että elementin tilalle tulee yksi. Muutetaan neljäs rivi toisen sijasta, toinen kolmannen sijasta ja kolmas neljännen tilalle. Saamme matriisin: 3) Matriisissa peruutetaan kaikki elementin alla olevat elementit. Koska matriisimme elementti on jälleen yhtä suuri kuin nolla, emme vähennä mitään neljännestä rivistä, vaan kolmanteen lisäämme toisen kerrottuna . Saamme matriisin: 4) Vaihdetaan matriisin rivit 3 ja 4 uudelleen. Saamme matriisin: 5) Lisää matriisissa kolmas rivi neljänteen riviin kerrottuna 5:llä. Saadaan matriisi, jolla on kolmiomuoto:

Järjestelmät, niiden sijoitukset ovat samat johtuen arvon ominaisuuksista ja niiden arvo on yhtä suuri kuin sijoitus

Huomautuksia: 1) Toisin kuin perinteisessä Gaussin menetelmässä, jos kaikki matriisirivin alkiot jaetaan tietyllä luvulla, meillä ei ole oikeutta pienentää matriisiriviä matriisin ominaisuuksien vuoksi. Jos haluamme pienentää riviä tietyllä numerolla, meidän on pienennettävä koko matriisia tällä numerolla. 2) Jos saamme lineaarisesti riippuvan rivin, voimme poistaa sen matriisistamme ja korvata sen nollarivillä. Esimerkki: Voit heti nähdä, että toinen rivi ilmaistaan ​​ensimmäisen kautta, jos kerrot ensimmäisen 2:lla. Tässä tapauksessa voimme korvata koko toisen rivin nollalla. Saamme: Tämän seurauksena, kun matriisi on saatettu joko kolmio- tai puolisuunnikkaan muotoon, jossa sillä ei ole lineaarisesti riippuvia vektoreita, kaikki matriisin nollasta poikkeavat vektorit ovat matriisin kanta, ja niiden lukumäärä on järjestys.

Tässä on myös esimerkki graafin muodossa olevasta vektorijärjestelmästä: Annettu järjestelmä, jossa , , ja . Tämän järjestelmän perusta on ilmeisesti vektorit ja , koska vektorit ilmaistaan ​​niiden kautta. Tämä järjestelmä graafisessa muodossa näyttää tältä:

Alkeista uudelleenluomista. Askeltyyppiset järjestelmät.

Elementaariset matriisimuunnokset- Nämä ovat matriisimuunnoksia, jotka johtavat matriisiekvivalenssin säilymiseen. Siten alkeismuunnokset eivät muuta tämän matriisin edustaman lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisujoukkoa.

Elementaarisia muunnoksia käytetään Gaussin menetelmässä matriisin pelkistämiseksi kolmio- tai askelmuotoon.

Perusmerkkijonon muunnokset kutsutaan:

Joillakin lineaarialgebran kursseilla matriisirivien permutaatiota ei eroteta erillisenä perusmuunnoksena, koska minkä tahansa kahden matriisirivin permutaatio voidaan saada kertomalla mikä tahansa matriisirivi vakiolla ja lisäämällä toinen rivi mihin tahansa matriisiriviin kerrottuna vakiolla , .

Samalla tavalla määritelty perussarakemuunnoksia.

Elementaariset muunnokset käännettävä.

Merkintä osoittaa, että matriisi voidaan saada alkeismuunnoksilla (tai päinvastoin).

Määritelmä. Astui kutsumme matriisia, jolla on seuraavat ominaisuudet:

1) jos i:s rivi on nolla, niin myös (I + 1) -rivi on nolla,

2) jos i:nnen ja (I + 1) rivin ensimmäiset nollasta poikkeavat alkiot sijaitsevat sarakkeissa, joiden numero on k ja R, vastaavasti, niin k< R.

Ehto 2) edellyttää pakollista nollien lisäämistä vasemmalla, kun siirrytään i:nneltä riviltä (I + 1)-riville. Esimerkiksi matriisit

A 1 = , A 2 =
, A 3 =

on vaiheittainen ja matriisit

B 1 = , V2 = , B3 =

eivät ole porrastettuja.

Lause 5.1. Mikä tahansa matriisi voidaan pelkistää echelon-matriisiksi käyttämällä matriisirivien alkeismuunnoksia.

Havainnollistetaan tätä lausetta esimerkillä.

A=

Tuloksena oleva matriisi on vaiheittainen.

Määritelmä. Matrix sijoitus kutsumme nollasta poikkeavien rivien lukumäärää tämän matriisin vaiheittaisessa muodossa.

Esimerkiksi matriisin A sijoitus edellisessä esimerkissä on 3.

Luento 6.

Determinantit ja niiden ominaisuudet. Käänteismatriisi ja sen laskenta.

Toisen asteen determinantit.

Tarkastellaan toisen asteen neliömatriisia

A =

Määritelmä. Toisen asteen determinantti matriisia A vastaava luku on kaavalla laskettu luku

│A│= = .

Alkuaineita a ij kutsutaan determinantin elementtejä│A│, elementit a 11 ja 22 muodostavat päädiagonaali, ja elementit a 12, a 21 ─ puolella

Esimerkki. = -28 + 6 = -22

Kolmannen asteen determinantit.

Tarkastellaan kolmannen asteen neliömatriisia

A =

Määritelmä. Kolmannen asteen determinantti matriisia A vastaava luku on kaavalla laskettu luku

│A│= =

Muistaaksesi mitkä tasa-arvon oikealla puolella olevat tuotteet tulee ottaa plusmerkillä ja mitkä miinusmerkillä, on hyvä muistaa sääntö ns. kolmion sääntö.

= ─

Esimerkkejä:

1) = - 4 + 0 + 4 – 0 + 2 +6 = 8

2) = 1, ts. │E 3 │ = 1.

Tarkastellaan toista tapaa laskea kolmannen asteen determinantti.

Määritelmä. Pieni elementti determinantin a ij on determinantti, joka saadaan annetusta determinantista poistamalla i. rivi ja j:s sarake. Algebrallinen komplementti Determinantin alkion a ij:tä kutsutaan sen minoriksi M ij , joka otetaan merkillä (-1) i+ j .

Esimerkki. Lasketaan matriisin alkion a 23 molli M 23 ja algebrallinen komplementti A 23

A =

Lasketaan molli M 23:

M 23 = = = - 6 + 4 = -2

A 23 = (-1) 2+3 M 23 = 2

Lause 1. Kolmannen kertaluvun determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa.

Doc. A-priory

= (1)

Valitaan esimerkiksi toinen rivi ja etsitään algebrallinen komplementti A 21, A 22, A 23:

A 21 = (-1) 2+1 = -() =

A 22 = (-1) 2+2 =

A 23 = (-1) 2+3 = - () =

Muunnetaan nyt kaava (1)

│A│= ( ) + () + () = A 21 + A 22 + A 23

│A│ = A 21 + A 22 + A 23

nimeltään determinantin laajennus│A│ toisen rivin elementeillä. Samoin hajotus voidaan saada muiden rivien ja minkä tahansa sarakkeen elementeistä.

Esimerkki.

= (toisen sarakkeen elementtien mukaan) = 1× (-1) 1+2 + 2 × (-1) 2+2 +

+ (-1)(-1) 3+2 = - (0 + 15) + 2(-2 +20) + (-6 +0) = -15 +36 – 6 = 15.

6.3. N:nnen kertaluvun determinantti (n О N).

Määritelmä. n:nnen kertaluvun determinantti, vastaa n:nnen kertaluvun matriisia

A =

Lukua kutsutaan yhtä suureksi kuin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden tulojen summa niiden algebrallisten komplementtien, ts.

│A│= A i1 + A i2 + … + A in = A 1j + A 2j + … + A nj

On helppo nähdä, että arvolle n = 2 saadaan kaava toisen kertaluvun determinantin laskemiseksi.

Esimerkki. = (4. rivin elementtien mukaan) = 3×(-1) 4+2 +

2×(-1) 4+4 = 3 (-6 + 20 - 2 - 32) +2 (-6 +16 +60 +2) = 3 (-20) +2 × 72 = -60 +144 = 84.

Huomaa, että jos determinantissa kaikki rivin (sarakkeen) elementit yhtä lukuun ottamatta ovat nollia, niin determinanttia laskettaessa on kätevää laajentaa se tämän rivin (sarakkeen) elementeiksi.

Esimerkki.

│E n │= = 1 × │E n -1 │ = … = │E 3 │= 1

Determinanttien ominaisuudet.

Määritelmä. Näytä matriisi

tai

soitamme kolmiomatriisi.

Kiinteistö 1. Kolmiomatriisin determinantti on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo, ts.

= =

Kiinteistö 2. Nollarivin tai nollasarakkeen matriisin determinantti on nolla.

Kiinteistö 3. . Matriisia transponoitaessa determinantti ei muutu, ts.

│А│= │А t │.

Kiinteistö 4. Jos matriisi B saadaan matriisista A kertomalla jokainen tietyn rivin alkio luvulla k, niin

│B│= k│A│

Kiinteistö 5.

= =

Kiinteistö 6. Jos matriisi B saadaan matriisista A järjestämällä kaksi riviä uudelleen, niin │B│= −│A│.

Kiinteistö 7. Matriisin, jossa on suhteellisia rivejä, determinantti on nolla, erityisesti matriisin, jossa on kaksi identtistä riviä, determinantti on nolla.

Kiinteistö 8. Matriisin determinantti ei muutu, jos matriisin toisen rivin elementtejä lisätään yhden rivin elementteihin kerrottuna tietyllä luvulla.

Kommentti. Koska ominaisuuden 3 mukaan matriisin determinantti ei muutu transponoinnin aikana, niin kaikki matriisin rivejä koskevat ominaisuudet pätevät myös sarakkeille.

Kiinteistö 9. Jos A ja B ovat kertaluvun n neliömatriiseja, niin │AB│=│A││B│.

Käänteinen matriisi.

Määritelmä. Kutsutaan neliömatriisia A, jonka kertaluku on n käänteinen, jos on sellainen matriisi B, että AB = BA = E n. Tässä tapauksessa matriisia B kutsutaan matriisi käänteinen A ja on merkitty A -1.

Lause 2. Seuraavat väitteet pitävät paikkansa:

1) jos matriisi A on käänteinen, niin käänteismatriisia on tasan yksi;

2) käänteismatriisilla on nollasta poikkeava determinantti;

3) jos A ja B ovat kertaluvun n käänteismatriiseja, niin matriisi AB on käännettävä ja (AB) -1 =

V-1 × A-1 .

Todiste.

1) Olkoot B ja C matriiseja, jotka ovat käänteisiä matriisille A, ts. AB = BA = E n ja AC = CA = E n. Sitten B = BE n = B(AC) = (BA)C = E n C = C.

2) Olkoon matriisi A käännettävä. Sitten on matriisi A -1, sen käänteinen ja

Determinantin ominaisuudella 9 │АА -1 │=│А││А -1 │. Sitten │A││A -1 │=│E n │, mistä

│А││А -1 │= 1.

Siksi │A│¹ 0.

3) Todellakin,

(AB)(B-1 A-1) = (A(BB-1))A-1 = (AE n)A-1 = AA-1 = E n.

(B -1 A -1)(AB) = (B -1 (A -1 A))B = (B -1 E n)B = B -1 B = E n.

Siksi AB on käännettävä matriisi ja (AB) -1 = B -1 A -1 .

Seuraava lause antaa kriteerin käänteismatriisin olemassaololle ja menetelmän sen laskemiseksi.

Lause 3. Neliömatriisi A on käännettävä silloin ja vain, jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Jos │А│¹ 0, niin

A -1 = =

Esimerkki. Etsi käänteismatriisi matriisille A =

Ratkaisu.│A│= = 6 + 1 = 7.

Koska │А│¹ 0, on olemassa käänteinen matriisi

A -1 = =

Laskemme A 11 = 3, A 12 = 1, A 21 = -1, A 22 = 2.

A -1 = .

Luento 7.

Lineaariyhtälöjärjestelmät. Yhteensopivuuskriteeri lineaariyhtälöjärjestelmälle. Gaussin menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen.

Lineaariyhtälöjärjestelmät.

Joukko muodon yhtälöitä

(1)

nimeltään m lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta x 1, x 2, ..., x n. Numeroita a ij kutsutaan järjestelmän kertoimet, ja numerot b i ─ ilmaisia ​​jäseniä.

Järjestelmän ratkaisu (1) on joukko lukuja c 1, c 2,..., c n, kun ne korvataan järjestelmään (1) x 1, x 2,..., x n sijasta, saadaan oikeat numeeriset yhtälöt.

Ratkaise järjestelmä─ tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä tai sen osoittamista, että niitä ei ole olemassa. Järjestelmää kutsutaan liitos, jos siinä on vähintään yksi ratkaisu ja ei-nivel, jos ratkaisuja ei ole.

Järjestelmäkertoimista koostuva matriisi

A =

Sitä kutsutaan järjestelmän (1) matriisiksi. Jos lisäämme järjestelmämatriisiin vapaiden termien sarakkeen, saamme matriisin

B =
,

jota kutsutaan järjestelmän laajennettu matriisi (1).

Jos merkitsemme

X = , C = , niin järjestelmä (1) voidaan kirjoittaa matriisiyhtälön AX=C muotoon.